금리 모델링 #2 채권 옵션, 캡/플로어

금리 파생상품이란 금리를 기초자산으로 하여 수익이 결정되는 파생상품을 말한다. 대부분 금융공학 교과서들을 보면 금리 파생상품을 설명할 때 다른 기초자산들보다 특별히 더 많은 분량을 할애하는 것을 알 수 있다. 그 이유는 크게 두 가지인데, 

 

1) 금리의 확률과정은 더 복잡하다. 금리는 매크로 변수로서의 성격이 있기 때문에, 단지 기하적 브라운 운동만으로 나타내기 힘들다. 예를 들어 주가는 계속 상승할 수 있지만, 금리는 계속 상승하지 않고 일정 수준이 되면 다시 내려온다. 이를 mean-reverting이라고 한다.

 

2) 금리는 주가처럼 하나의 값이 아니라, 수익률 '곡선'으로서 존재한다. 기간 구조를 무시한 상태에서 그냥 "금리"라는 것은 존재하지 않는다. 따라서 금리를 추정할 때는 금리 커브 자체를 추정할 방법을 고민해야 한다.

 

물론 금리는 주식 파생상품의 가치를 평가할 때도 할인율로 사용된다. 하지만 주식 파생상품에서는 기초자산인 주가의 움직임이 훨씬 중요해서 금리에 별로 신경을 쓰지 않는다. 금리 파생상품은 금리 자체가 기초자산이기 때문에 금리의 성질을 무시한 상태에서 제대로 평가할 수 없다. 

 

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저번 글에 이어서, 본격적으로 금리 파생상품들에 대해 다루어보자.

 

4. 채권 옵션

 

채권 옵션은 채권을 기초자산으로 하는 옵션이다. 즉 미래 특정 시점에 사전에 정한 행사가격으로 채권을 매수하거나 매도할 권리이다. 시장에서는 채권 옵션 자체보다는, 발행된 채권에 옵션을 부착해서 판매하는 embedded option의 형태가 대부분이다.

 

embedded option의 하나는 callable bond 즉 콜옵션부 채권이다. 채권 발행자가 사전에 정한 가격으로 채권을 다시 사올 수 있는 채권을 말한다. 즉 채권을 발행해서 이자를 갚다가, 임의로 조기상환을 할 수 있는 채권이다. 예를 들어 중도상환이 가능한 주택담보대출도 콜옵션부 채권이다. 

 

다른 하나는 puttable bond, 풋옵션부 채권이다. 채권 매수자가 사전에 정한 가격으로 채권을 되팔 수 있는 채권이다. 즉 채권을 보유해서 이자를 받다가, 내키지 않으면 원금의 조기상환을 청구할 수 있다. 언제든 인출이 가능한 자유예금도 풋옵션부 채권이라고 할 수 있다.

 

콜옵션부 채권은 채권 매도자에게 유리하므로, 콜옵션 가치만큼 채권 가치가 떨어진다(수익률이 높아진다). 반면 풋옵션부 채권은 채권 매수자에게 유리하므로, 풋옵션 가치만큼 채권 가치가 높아진다(수익률이 낮아진다). 

 

채권 옵션의 가치는 Black's model을 활용하여 구한다. 만기가 T인 무이표채를 기초자산으로 하는 채권 콜옵션과 풋옵션의 가치는 각각

$$C = P(0, T)[FN(d_{1})-KN(d_{2})]$$

$$P = P(0, T)[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})$$

이때 P(0,T)는 만기 T인 무이표채의 가격(즉, 현재가치 팩터)이고, F는 만기 T인 채권선물의 가격, K는 행사가격이다. 그 외 notation은 BSM 모형의 일반적인 그것과 같다. 변동성은 채권선물 가격의 변동성을 사용한다(물론 Black's model은 선물 만기와 옵션 만기가 일치한다고 가정하므로 선물 변동성과 현물 변동성이 동일하다) .

 

Black's model은 이 블로그에서 다룬 적이 없는데, 조만간 관련 포스팅을 올려야겠다.

 

 

5. 금리 캡/플로어

 

금리 캡은 금리 옵션으로 구성된 포트폴리오를 말한다. 즉 정해진 행사가격을 초과하는 만큼의 금리를 일정 주기마다 지급하는 파생상품이다. 금리 캡에서는 행사가격 대신 cap rate라는 표현을 쓴다. 금리 지급이 발생하는 t번째 시점에서 금리 캡의 수익은

$$L*\Delta t *max(r_{t-1} - \bar{r},0)$$

L은 명목원금, $\Delta t$는 이자지급주기, $r_{t-1}$는 기초자산인 금리의 t-1 시점 값, $\bar{r}$은 cap rate이다. 설명한 바와 같이 콜옵션의 그것과 완전히 동일하다.

 

보다시피 t번째 수익은 t-1번째 시점의 금리에 기초해서 수익이 결정된다. 

 

금리 플로어는 금리 캡의 풋옵션 버전이다. 즉 정해진 행사가격에 미달하는 만큼의 금리를 일정 주기마다 지급하는 파생상품이다. 플로어에서는 행사가격 대신 floor rate라는 표현을 쓴다. 시점 t에서 금리 플로어의 수익은

$$L*\Delta t *max(\bar{r}- r_{t-1} ,0)$$

 

금리 캡/플로어는 어떤 용도로 쓰일까? 만약 미래에 변동금리를 지불해야 하는 포지션에 처해있다고 하자. 이 상태에서 그 변동금리에 대한 캡 포지션을 매수하면, 변동금리가 cap rate를 넘는 만큼은 캡으로부터 수익이 된다. 따라서 지불해야 하는 변동금리 수준이 최대 cap rate가 되도록 하는 헷지 효과가 있다.

 

반대로 변동금리를 수취하는 포지션에 있을 때, 그 금리에 대한 플로어 포지션을 매수하면, 변동금리가 floor rate에 미달하는 만큼 플로어로부터 수익을 얻는다. 따라서 지급 받는 변동금리 수준이 최소한 floor rate는 되도록 하는 헷지 효과가 있다.

 

금리 캡/플로어도 그 자체로 분리되서 판매되기 보다는, 변동금리부 채권을 발행할 때 변동금리가 너무 높아지거나 낮아지지 않도록 하는 embedded option의 형태로 쓰인다.

 

 

금리 캡과 플로어의 각각의 캐시플로우에 해당하는 요소를 caplet, floorlet이라고 한다. $t_{k}$ 시점이 만기인 caplet과 floorlet의 가치를 Black's model로 평가하면

$$Caplet_{t_{k}} = L*\Delta_{t}*P(0, t_{k})[F_{k-1}N(d_{1})-\bar{r}N(d_{2})]$$

$$Floorlet_{t _{k}} = L*\Delta_{t}*P(0, t_{k})[\bar{r}N(-d_{2})-F_{k-1}N(-d_{1})]$$

$F_{k-1}$는 0시점에서 관찰한, $[t_{k-1}, t_{k}]$ 기간에 적용될 선도금리이다.

 

캡과 플로어의 가치는 caplet과 floorlet의 가치를 합해서 구한다. 이자지급이 1번째 시점부터 N번째 시점까지 이루어진다고 하면,

$$Cap = \Sigma_{k=1}^{N}Caplet_{t_{k}}$$

$$Floor = \Sigma_{k=1}^{N}Floorlet_{t_{k}}$$

 

이때 각각의 caplet/floorlet에서 현재가치 팩터 P(0, t)와 선도금리 F는 각 시점에 맞게 따로 추정해야 한다. 뿐만 아니라 d1, d2를 계산하는 데 필요한 선도금리 변동성도 각 시점에 맞게 따로 추정해야 한다. 왜냐하면 각 선도금리가 적용되는 선도기간이 다르기 때문에, 동질적인 기초자산이라고 할 수 없기 때문이다.