금리 모델링 #1 ZCB, FRN, FRA, IRS

금리 파생상품이란 금리를 기초자산으로 하여 수익이 결정되는 파생상품을 말한다. 대부분 금융공학 교과서들을 보면 금리 파생상품을 설명할 때 다른 기초자산들보다 특별히 더 많은 분량을 할애하는 것을 알 수 있다. 그 이유는 크게 두 가지인데, 

 

1) 금리의 확률과정은 더 복잡하다. 금리는 매크로 변수로서의 성격이 있기 때문에, 단지 기하적 브라운 운동만으로 나타내기 힘들다. 예를 들어 주가는 계속 상승할 수 있지만, 금리는 계속 상승하지 않고 일정 수준이 되면 다시 내려온다. 이를 mean-reverting이라고 한다.

 

2) 금리는 주가처럼 하나의 값이 아니라, 수익률 '곡선'으로서 존재한다. 기간 구조를 무시한 상태에서 그냥 "금리"라는 것은 존재하지 않는다. 따라서 금리를 추정할 때는 금리 커브 자체를 추정할 방법을 고민해야 한다.

 

물론 금리는 주식 파생상품의 가치를 평가할 때도 할인율로 사용된다. 하지만 주식 파생상품에서는 기초자산인 주가의 움직임이 훨씬 중요해서 금리에 별로 신경을 쓰지 않는다. 금리 파생상품은 금리 자체가 기초자산이기 때문에 금리의 성질을 무시한 상태에서 제대로 평가할 수 없다. 

 

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금리 모델링에 들어가기 앞서서, 이번 글에서는 금리가 기초자산인 파생상품들에 대해 알아보자.

 

1. 채권

채권을 보통 파생상품이라고 하지는 않지만, 가장 기본적인 금리상품이다(그리고 넓은 의미에서는, 금리라는 지표에 의해 가치가 결정되는 상품이므로 이 또한 파생상품이다). 

 

t시점에서 아주 짧은 만기 $[t, t+dt]$를 가진 금리를 t시점의 short rate $r_{t}$라고 한다. 만기 T에 단위금액을 지급하는 무이표채(ZCB; Zero Coupon Bond)의 t시점 가격은

$$ZCB(t, T) = P(t, T) = exp(-\int_{t}^{T}r_{s}ds)$$

 

중도에 이자지급이 발생하는 이표채(Coupon-bearing bond)의 경우, 각 이자지급 시점을 만기로 하는 무이표채들로 구성된 포트폴리오라고 생각하면 된다. 이표채는 일반적으로 단리 방식이다. 이자지급주기가 $\Delta t$이고 만기가 T일 때 t시점의 이표채의 가치는 다음과 같다. 쿠폰율은 $\bar{C}$로 고정돼있다. T = t + N*$\Delta t$이면

 

$$CB(t, T) = \Sigma_{s=1}^{N}P(t,t+\Delta t * s) * \Delta t * \bar{C} + P(t, T)$$

 

만기에 돌려받는 원금은 1이라고 가정했다.

 

2. FRN

일반적인 채권은 이자지급이 고정되어 있지만, 그렇지 않은 경우도 있다. 사전에 정한 지표물에 의해 쿠폰이 변동하는 채권을 FRN(Floating Rate Note)이라고 한다. 시장에서 자주 발행되는 FRN의 한 예는 3개월마다 CD금리를 관찰해서 거기에 20bp 스프레드를 얹어주는 것이다.

 

FRN의 금리 계산도 보통 단리 방식이다. 이자지급주기가 $\Delta t$이고 만기가 T일 때 t시점의 FRN의 가치는 다음과 같다. s-1번째 시점의 지표물을 관찰하여, $C_{t+\Delta t*(s-1)}$의 금리를 s번째 이자지급 시점까지 단리로 계산해 지급한다고 하자. 만기에 돌려받는 원금은 1이라고 가정했다.

 

$$FRN(t, T) = \Sigma_{s=1}^{N}P(t,t+\Delta t * s) * \Delta t * C_{t+\Delta t*(s-1)} + P(t, T)$$

 

 

그런데 사실 미래의 쿠폰율은 아직 알려져 있지 않다. 따라서 해당하는 미래구간에 대한 선도금리를 사용해서 가격을 구한다.

$$FRN(t, T) = \Sigma_{s=1}^{N}P(t,t+\Delta t * s) * \Delta t * F(t; t+\Delta t*(s-1), t+\Delta t*s) + P(t, T) $$

 

여기서 F(t; x, y)는 t 시점에서 평가한 시구간 [x, y]에 대한 선도금리를 의미한다. 보통 선도금리는 내재선도금리를 사용한다. 주어진 제로 커브로부터 일관성 있는 선도금리를 추정하는 방식인데, 내재선도금리에 관하여 자세한 것은 이전 포스팅을 참조한다.

파생상품 이론 #4 이자율

 

3. IRS

스왑이란 약정에 의해 두 현금흐름을 일정 기간 동안 정해진 주기마다 교환하는 계약을 말한다. 특히 동일한 통화의 고정금리와 변동금리를 교환하는 스왑을 IRS(Interest Rate Swap)이라고 한다.

 

스왑은 롱 또는 숏포지션이라는 표현을 쓰지 않는다. 왜냐하면 양쪽 다 무언가를 주면서 받기 때문이다. IRS에서는 고정금리를 지급하고 변동금리를 수취하는 쪽을 Payer Swap이라고 한다. 반대로 변동금리를 지급하고 고정금리를 수취하는 쪽을 Reciever Swap이라고 한다. 헷갈릴 때는 고정금리를 기준으로, 주는 쪽이 pay, 받는 쪽이 recieve이다.

 

포지션이 주어져있을 때, 두 개의 현금흐름을 각각 Leg이라고 표현한다. Reciever Swap의 가치는 변동금리 leg의 가치에서 고정금리 leg의 가치를 뺀 것이다. 그런데 변동금리 leg은 FRN과 동일하고, 고정금리 leg은  이표채와 동일하다. 정확히는, IRS는 보통 원금 교환이 없고 이자만 교환하므로 FRN과 이표채에서 만기 원금을 제외하면 동일하다. 그런데 어차피 FRN 가치에서 이표채 가치를 빼면 원금은 알아서 상쇄되므로

 

$$RIRS(t, T) = FRN(t, T) - CB(t, T)$$

 

반대로 payer swap의 가치는

 

$$PIRS(t, T) = CB(t, T) - FRN(t, T)$$

 

스왑레이트(Swap rate)라는 개념도 종종 등장한다. 스왑레이트란 주어진 스왑의 가치를 0으로 만드는 고정금리 leg의 쿠폰율을 의미한다.

 

비슷한 파생상품으로 FRA(Forward Rate Agreement)라는 것도 있다. FRA는 IRS에서 각각의 현금흐름 교환 계약을 나타낸다고 이해하면 된다. 반대로 말해서 FRA는 교환이 한번만 발생하는 IRS이다. 위에서 선도금리를 정의했는데, FRA의 가치를 0으로 만드는 고정금리를 선도금리라고 정의하기도 한다. 복리계산법만 동일하다면, 두 정의의 결과는 동일하다.