파생상품 가치평가 방법론 #8 유한차분법(FDM)의 아이디어

이 시리즈는 파생상품 이론 분야에서 가장 유명한 교재인 Hull(2021)의 "Options, Futures and Other Derivatives (11th)"을 요약한 것일 뿐이다. 아래는 책 구매 링크

Options, Futures, and Other Derivatives

 

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파생상품 가치평가 방법론 #7 Monte Carlo Simulation (2) LSMC

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1. 유한차분법의 아이디어

유한차분법(FDM; Finite Difference Mathod)이란 미분방정식을 수치적으로 해결하는 테크닉 중 하나이다. 블랙-숄즈 방정식에서 보듯이, 파생상품의 가치는 파생상품 가치가 만족해야 할 미분방정식을 사용해 closed-form으로 구할 수 있다. 문제는, 대부분의 경우에서 이 미분방정식의 해가 알려져 있지 않다는 것이다.

 

미분방정식은 연속적인 영역에서 정의된다. 가령 블랙-숄즈 방정식은 

 $$\frac{\partial f}{\partial t} + rS \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial S^{2}} = rf$$

 

이때 연속적으로 정의된 미분을 discrete한 version으로 근사시키면 어떨까? 즉 적당히 작은 $\Delta t$와 $\Delta S$에 대하여 아래와 같이 쓰는 것이다.

$$\frac{\Delta f}{\Delta t} + rS\frac{\Delta f}{\Delta S} + \frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\Delta ^{2} f}{\Delta S^{2}} = rf$$

 

만약 우리가 고려해야 할 잔존만기를 N개의 균등한 기간으로 분할할 수 있다면,

$$[0, \Delta t], [\Delta t , 2\Delta t], \cdots [(N-1)\Delta t , N\Delta t]$$  

또한 우리가 고려해야 할 기초자산의 가격 구간을 M개의 균등한 구간으로 분할할 수 있다면

$$[0, \Delta S],[\Delta S , 2\Delta S], \cdots[(N-1)\Delta S , N\Delta S]$$  

 

위의 미분방정식은 N개의 $\frac{\Delta f}{\Delta t} | _{t=i}$와 M개의 $\frac{\Delta f}{\Delta S} | _{S=j}$ 에 관한 연립방정식이 될 것이다. 그리고 각 시점 t와 가격 상태 S에서의 미분계수들을 구해서 방정식에 집어넣고 연립방정식을 풀면 된다.

 

아래처럼 시간과 기초자산 가격에 대하여 discrete한 grid를 만들어놓고, 각 node에 파생상품의 가치들을 표시한다. 그리고 각 node 간에 만족되어야 할 관계(편미분 방정식)를 사용하여 원하는 node에서의 파생상품 가치를구하는 방법이다. 

 

 

2. Implicit 방법과 Explicit 방법

근사식을 잘 보면, 시점 i와 가격상태 j에서 t에 대한 편미분계수, S에 대한 편미분계수, 그리고 S에 대한 2차 편미분계수가 필요하다. 편미분계수를 다음과 같이 근사할 수 있다. 점 (i, j)에서 파생상품의 가치를 $f_{i,j}$라고 할 때

$$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{f_{i+1, j} - f_{i, j}}{\Delta_{t}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial S} = \frac{f_{i, j+1} - f_{i, j-1}}{2\Delta_{t}}$$

$$\frac{\partial^{2}f}{\partial S^{2}} = [\frac{f_{i, j+1} - f_{i, j}}{\Delta_{t}} - \frac{f_{i, j+1} - f_{i, j}}{\Delta_{t}}]/\Delta S = \frac{f_{i,j+1} + f_{i,j-1} - 2f_{i,j}}{\Delta S^{2}} $$

 

이렇게 쓰고 나서 편미분 방정식을 정리하면 다음과 같은 꼴로 정리된다.

$$f_{i,j} = \alpha_{j}*f_{i-1,j-1} + \beta_{j}*f_{i-1,j} + \gamma_{j}*f_{i-1,j+1}$$

 

즉 시점 t에서 가격이 S일 때, 파생상품의 가치는 t-1 시점에서 가격이 S-dS, S, S+dS일 때의 파생상품 가치들의 선형결합으로 표현된다. 이렇게 풀어내는 방법을 암묵적 유한차분법(Implicit FDM)이라고 한다.

 

반면 위에서 편미분계수를 근사하는 방법을 약간 수정하면 수학적으로 더 간단한 풀이를 얻을 수 있다고 한다. 점 (i, j)와 (i+1, j)에서 기초자산 가격 S에 대한 1차 및 2차 편미분계수가 동일하다고 가정하는 것이다. 그럼 편미분계수의 근사법은 아래와 같이 바뀐다.

$$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{f_{i+1, j} - f_{i, j}}{\Delta_{t}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial S} = \frac{f_{i+1, j+1} - f_{i+1, j-1}}{2\Delta_{t}}$$

$$\frac{\partial^{2}f}{\partial S^{2}} = \frac{f_{i+1,j+1} + f_{i+1,j-1} - 2f_{i+1,j}}{\Delta S^{2}}$$

 

이때 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴로 정리된다.

$$f_{i,j} = \alpha_{j}*f_{i+1,j-1} + \beta_{j}*f_{i+1,j} + \gamma_{j}*f_{i+1,j+1}$$

 

즉 시점 t에서 가격이 S일때, 파생상품의 가치는 t+1 시점에서 가격이 S-dS, S, S+dS일 때의 파생상품 가치들의 선형결합으로 표현된다. 이렇게 풀어내는 방법을 명시적 유한차분법(Explicit FDM)이라고 한다.

 

명시적 유한차분법은 미래 시점의 파생상품 가치로부터 현재 시점 파생상품 가치를 구해내는 방법이라는 점에서 직관적인 해석이 가능하고, 연산 속도도 더 빠르다. 하지만 그 풀이 결과가 잘 수렴하지 않는 치명적인 단점이 있다. 즉 근사의 정확도를 높이기 위해 잔존만기와 기초자산 가격 구간을 잘게 쪼개어갈 때, 풀이의 결과가 걸핏하면 이상한 값으로 튀어버린다.

 

반대로 암묵적 유한차분법은 과거 시점의 파생상품 가치로부터 현재 시점 파생상품 가치를 구하는 방법이기 때문에 이걸 어떻게 해석해야 할 지 난감하다는 문제가 있지만, 풀이 결과가 확실하게 수렴하기 때문에 선호된다.