블랙숄즈 모델 말고 블랙모델

 

유로피안 옵션의 가치를 평가하는 잘 알려진 모델은 블랙숄즈 모델이다. 일반적인 notation 하에서, 콜옵션의 가치는 다음과 같이 구한다.

 

$$C = S_0e^{-qT}N(d_{1}) - Ke^{-rT}N(d_{2})$$

 

조금 더 들여다보자. 현재가치 팩터를 앞으로 뽑아내서 식을 정리하면 다음과 같다.

 

$$C = e^{-rT} * [S_0e^{(r-q)T}N(d_{1}) - KN(d_{2})]$$

 

근데 만약 옵션과 만기가 동일한 선물계약이 있어서, 그 선물가격이 $F_{0}$라고 하자. 잘 알다시피 선물가격은

 

$$F_{0} = S_0e^{(r-q)T}$$

 

그러면 아래와 같이도 쓸 수 있다.

 

$$C = e^{-rT} * [F_{0}N(d_{1}) - KN(d_{2})]$$

 

이것을 블랙 모델(Black's model)이라고 얘기한다. 언뜻 보면 선물과 현물 가격 간의 관계에 의해 블랙숄즈 모델과 동일해보이는데, 다르게 취급한다.

 

그 이유는, 현물가격 대신에 선물가격을 쓸 때 차이가 있기 때문이다. 현물 가격을 이용해 블랙숄즈 모델을 사용할 경우, 기초자산에서 발생하는 income yield를 고려해야 한다. 주식 옵션이라면 배당수익률을 알아야 할 것이고, 통화 옵션이라면 해외이자율을 알아야 할 것이다.

 

그런데 이런 income yield 자체도 추정을 해야 하는 것이므로 귀찮고, 괜한 오차를 수반할 수 있다. 선물가격을 이용해 블랙 모델을 사용할 경우 이런 문제가 없다. 왜냐하면 선물시장에서는 이미 시장참가자들이 income yield를 고려하여 선물을 거래하고 있기 때문이다.

 

따라서 이론과 완벽하게 동일하지 않은 현실의 평가 맥락에서, 블랙모델은 블랙숄즈 모델과는 평가결과가 다를 수 있고, 더 편리하다.