금리 모델링 #3 스왑션(Swaption)

금리 파생상품이란 금리를 기초자산으로 하여 수익이 결정되는 파생상품을 말한다. 대부분 금융공학 교과서들을 보면 금리 파생상품을 설명할 때 다른 기초자산들보다 특별히 더 많은 분량을 할애하는 것을 알 수 있다. 그 이유는 크게 두 가지인데, 

 

1) 금리의 확률과정은 더 복잡하다. 금리는 매크로 변수로서의 성격이 있기 때문에, 단지 기하적 브라운 운동만으로 나타내기 힘들다. 예를 들어 주가는 계속 상승할 수 있지만, 금리는 계속 상승하지 않고 일정 수준이 되면 다시 내려온다. 이를 mean-reverting이라고 한다.

 

2) 금리는 주가처럼 하나의 값이 아니라, 수익률 '곡선'으로서 존재한다. 기간 구조를 무시한 상태에서 그냥 "금리"라는 것은 존재하지 않는다. 따라서 금리를 추정할 때는 금리 커브 자체를 추정할 방법을 고민해야 한다.

 

물론 금리는 주식 파생상품의 가치를 평가할 때도 할인율로 사용된다. 하지만 주식 파생상품에서는 기초자산인 주가의 움직임이 훨씬 중요해서 금리에 별로 신경을 쓰지 않는다. 금리 파생상품은 금리 자체가 기초자산이기 때문에 금리의 성질을 무시한 상태에서 제대로 평가할 수 없다. 

 

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마지막으로 소개할 파생상품은 스왑션이다.

 

6. 스왑션

1) 스왑션의 정의

스왑션은 미래 특정시점에서 스왑계약을 체결할 수 있는 옵션을 말한다. payer swap을 체결할 권리라면 payer swaption이고, receiver swap을 체결할 권리라면 receiver swaption이 된다. 

 

스왑션은 어디에 쓰일까? 기초자산인 스왑의 포지션을 헷지하기 위해 쓰인다. 6개월 후에 receiver swap을 체결하는 기업을 생각해보자. 현재로서는 수취할 swap rate가 얼마일지 알 수 없다. 이때 swap rate 3%를 지급하는 스왑을 체결할 수 있는 payer 스왑션이 있다고 하자. 이 payer 스왑션을 보유해두면, 다음과 같은 효과가 생긴다.

 

6개월 후에 시장의 swap rate가 3%를 넘었다고 하자. 그러면 payer 스왑션을 행사하여 payer 스왑션을 체결한다. 이때 기초스왑인 recevier 스왑에 지불해야 할 변동금리는, 스왑션에서 얻은 payer 스왑션에서 수취하는 변동금리로 헷지한다. 한편 고정금리를 보면, 기초자산인 receiver 스왑에서 받은 고정금리가, 스왑션에서 얻은 payer 스왑션에 지불해야 할 3% 고정금리보다 높다. 따라서 그 차이만큼을 수익으로 확정한다.

 

반대로 시장의 스왑레이트가 3%보다 낮으면, 오히려 손해를 본다. 변동금리는 어차피 헷지되는 것이고, 고정금리 측면에서 기초자산 스왑에서 받은 고정금리가 스왑션 행사로 얻는 3% 고정금리보다 낮다. 따라서 그 차이만큼이 손해로 확정된다. 그러므로 이 경우에는 스왑션을 행사하지 않는다.

 

스왑션의 행사 rate가 $R_{k}$라고 하고 옵션 만기에서 시장의 스왑레이트가 $R_{T}$이면, 명목원금 L과 연간 이자지급횟수 m을 반영해서 각각의 이자교환 시점마다 다음의 이득이 발생하는 것이다. 

$$\frac{L}{m}max(R_{T} - R_{K}, 0)$$

 

스왑션 행사시점에 T에서 행사 rate와 시장 rate는 이미 알려져 있는 값이므로, 스왑션 행사시점에서 payer 스왑션은 고정된 현금흐름 $R_{T} - R_{K}$가 매 시점 발생하는 이표채이다. 즉 payer 스왑션은 swap rate를 기초자산으로 하는 콜옵션이되, 그 수익은 이표채로 주어지는 파생상품이다.

 

한편 receiver 스왑션의 만기 시점에서는 다음의 고정 현금흐름이 매 시점 발생하는 이표채를 얻는 셈이다.

$$\frac{L}{m}max(R_{K} - R_{T}, 0)$$

 

즉 receiver 스왑션은 swap rate를 기초자산으로 하는 풋옵션이되, 그 수익은 이표채로 주어지는 파생상품이다.

 

2) 스왑션의 가치평가

스왑션의 수익구조를 이해했으므로, BSM model의 간단한 응용으로 가치를 평가할 수 있다.

 

payer swaption의 가치를 먼저 옵션 행사시점 T에서 구해보자. 스왑의 만기는 n년이고 매년 m번의 이자지급이 있다고 할 때 $T_{1}, T_{2}, ... , T_{mn}$ 시점에서의 고정된 현금흐름들의 가치를 T시점으로 가져오면

 

$$PSWPTN_{T} = \frac{L}{m}\Sigma_{i=1}^{mn}P(T, T_{i}) max(R_{T} - R_{K}, 0) $$

이제 시점 0에서 가치를 평가한다면, 

$$PSWPTN_{0} = P(0,T)\frac{L}{m}\Sigma_{i=1}^{mn}P(T, T_{i})\hat{E_{0}}(max(R_{T} - R_{K}, 0))$$

$\hat{E_{0}}$는 시점 0에서 위험중립적 기대를 의미하는 연산자이다. 최종적인 평가 결과는

$$PSWPTN_{T} = \frac{L}{m}\Sigma_{i=1}^{mn}P(0, T_{i})(R_{0}N(d_{1}) - R_{K}N(d_{2}))$$

 

마찬가지로 receiver swaption의 가치는

$$RSWPTN_{T} = \frac{L}{m}\Sigma_{i=1}^{mn}P(0, T_{i})(R_{K}N(-d_{2}) - R_{0}N(-d_{1}))$$

 

3) 스왑션의 내재변동성

스왑션의 가치는 시장에서 내재변동성의 형태로 고시된다. 즉 위의 가치평가 공식을 활용하여 스왑션의 시장가격과 스왑레이트의 변동성을 구하고, 이 내재변동성을 가격으로 대신 고시한다. 내재변동성을 계산할 때의 관습은 스왑션의 옵션 만기와 기초자산 스왑의 만기마다 내재변동성을 각각 계산한다는 것이다. 

 

두번째로 고려해야 할 것은 ATM 스왑션을 기준으로 내재변동성을 계산한다는 것이다. 스왑션의 ATM 여부는 스왑션의 행사 스왑레이트가 선도 스왑레이트와 동일한지 여부를 의미한다. 둘이 같으면 ATM 스왑션이라고 한다.