이 시리즈는 파생상품 이론 분야에서 가장 유명한 교재인 Hull(2021)의 "Options, Futures and Other Derivatives (11th)"을 요약한 것일 뿐이다. 아래는 책 구매 링크
7편
파생상품 이론 #7 옵션의 성질
이 시리즈는 파생상품 이론 분야에서 가장 유명한 교재인 Hull(2021)의 "Options, Futures and Other Derivatives (11th)"을 요약한 것일 뿐이다. 아래는 책 구매 링크 Options, Futures, and Other Derivatives ISBN-13: 978013693
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1. 1기간 이항 모형
1.1. Binomial model의 기본 구조
- 옵션을 비롯한 파생상품의 가격을 결정하는 방법 중 가장 일반적인 것은 이항 모형(Binomial Model)이다. 이는 만기까지의 각 time step에서 기초자산의 가격이 일정 비율로 상승하거나 하락하는 랜덤워크라고 가정하는 모형이다.
- 예시를 보면서 이해해보자. 행사가격이 21달러인 콜옵션이 있고 만기는 3개월 후이다. 3개월 후에 기초자산인 주식의 가격이 22달러가 되거나 18달러가 되는 단순한 상황이라고 가정하자. 그러면 옵션의 가치(기초자산 가격 - 행사가격)는, 주가가 22달러일 때는 1달러가 되고 주가가 18달러일 때는 0달러가 될 것이다. 한편 무위험이자율은 연속복리로 연 4%이다.
1.2. No-Arbitrage Condition
- 이런 상황에서 현 시점의 옵션 가격은 얼마로 평가할 수 있을까? 이 문제를 해결하기 위해 역시나 무위험차익거래가 존재하지 않는다는 가정을 사용한다.
- 우선 다음과 같은 무위험 포트폴리오를 생각하자. 콜옵션 1개를 매도하고 기초자산인 주식은 $\Delta$개 매도한 포트폴리오이다. 이 포트폴리오가 무위험 포트폴리오가 된다는 것은, 3개월 후 발생할 수 있는 두 상황에서 포트폴리오 전체의 가치가 동일해야 함을 의미한다.
- $S_{T} = 22$이면, 포트폴리오 가치는 $22 \Delta - 1$
- $S_{T} = 18$이면, 포트폴리오 가치는 $18 \Delta - 0$
- 두 경우의 포트폴리오 가치가 동일하려면 $22 \Delta - 1 = 18 \Delta - 0$, $\therefore \Delta = 0.25$
- 그러면 만기 시에 포트폴리오 가치는 항상 동일한 값을 갖는다. 근데 얼마가 된다는 것일까? 어차피 포트폴리오 가치는 항상 동일하므로 기분 좋게 주가가 오른 상황에서의 가치를 구하면 $22 * 0.25 - 1 = 4.5$달러가 된다.
- 결국 이 포트폴리오는 만기에 4.5달러를 주는 무위험채권과 동일한 가치를 갖는다. 따라서, 현 시점의 포트폴리오의 가치는 $4.5 * e^{-0.04 * 3/12} = 4.455$달러이다.
- 이 지점에서 무위험차익거래의 불능 조건이 개입한다. 이 포트폴리오를 구성하는 비용이 4.455달러보다 크거나 작으면 포트폴리오를 매수하거나 매도하는 차익거래가 가능해진다. 포트폴리오를 구성하는 비용은 콜옵션을 1개 팔고 주식은 0.25개만큼 살 때의 순현금흐름이므로, 옵션의 가격이 $f$라고 하면,
$$20 * 0.25 - f = 4.455$$
$$\therefore f = 0.545$$
- 이항 모형은 이런 방식으로 옵션의 가격을 구한다. 물론 아래에서 일반화하자.
1.3. 일반화
- 기본 가정은 아래와 같다.
- 현재 주가는 $S_{0}$, 옵션의 만기는 $T$이고 무위험이자율은 $r$이다.
- 만기에 발생한 두 가지 상황에서 주가는 $S_{0}u$로 상승하거나 $S_{0}d$로 하락한다. 단, u > 1 > d
- 만기의 두 상황에 대응하는 각각의 옵션의 가치가 $f_{u}$, $f_{d}$이다.
- 주식을 $\Delta$개만큼 매수하고 콜옵션을 1개 매도해 얻은 포트폴리오의 가치는 만기에
- $\Delta S_{0}u - f_{u}$가 되거나
- $\Delta S_{0}d - f_{d}$가 된다.
- 이 포트폴리오를 무위험포트폴리오로 만들기 위해서는 두 값이 서로 같다고 두면 된다.
$$\Delta S_{0}u - f_{u} = \Delta S_{0}d - f_{d}$$
$$\therefore \Delta = \frac{f_{u}-f_{d}}{S_{0}u-S_{0}d}$$
- 따라서 현재 포트폴리오의 가치 $\Pi$는 만기에 $\Delta S_{0}u - f_{u}$를 지급하는 무위험채권의 가격이다. 즉,
$$\Pi = (\Delta S_{0}u - f_{u})e^{-rT}$$
- 이 가격은 포트폴리오를 구성하는 비용과 같아야 한다.
$$S_{0}\Delta - f = (\Delta S_{0}u - f_{u})e^{-rT}$$
정리하면,
$$f = S_{0}\Delta(1-ue^{-rT})+f_{u}e^{-rT}$$
$\Delta$에 우리가 구한 값을 대입하면,
$$f = S_{0} \frac{f_{u}-f_{d}}{S_{0}u-S_{0}d} (1-ue^{-rT})+f_{u}e^{-rT}$$
$$= \frac{f_{u}(1-de^{-rT}) + f_{d}(ue^{-rT}-1)}{u-d}$$
$$= e^{-rT}[f_{u}\frac{e^{-rT}-d}{u-d}-f_{d}\frac{e^{-rT}-u}{u-d}]$$
이때, $p = \frac{e^{-rT}-d}{u-d}$라고 정의하면
$$f = e^{-rT}[pf_{u} + (1-p)f_{d}]$$
- 이항모형에서 또 한 가지 흥미로운 것은 옵션의 가치를 결정하는 데 주가가 상승할 확률(상승한 비율 말고)은 전혀 영향을 주지 않는다는 것이다. 이는 우리가 사용한 주가 $S_{0}$ 자체가 이미 주식이 상승할 확률을 반영해서 정해진 값이기 때문이다.
2. 위험중립 가치평가(Risk Neutral Valuation)
2.1. 위험중립 가치평가의 의의
- 파생상품의 가치를 평가할 때의 일반적인 원칙은 위험중립 가치평가이다. 이항모형으로 옵션 가격을 책정하는 것은 이 일반적인 원칙의 한 구체적인 형태일 뿐이다.
- 위험중립 가치평가란 투자자들의 위험 회피가 중립적이라는 가정, 즉 위험을 추가적으로 부담하는 것에 대해 기대수익의 증가를 요구하지 않는 가정 하에서 파생상품의 가치를 평가하는 것이다.
- 당연히 현실의 투자자들은 위험회피적이기 때문에 위험중립의 가정은 현실과는 부합하지 않는다. 그럼에도 위험중립 가정을 사용할 경우 현실 세계의 파생상품 가치를 평가하는 데에는 문제가 없다. 왜냐하면 파생상품은 기초자산 가격에 연계하여 수익을 제공하는 상품이고, 투자자들의 위험회피도는 이미 기초자산 가격에 반영돼있다. 기초자산의 가격 자체는 위험회피 가정 여부에 영향을 받더라도, 그에 연계된 가치일 뿐인 파생상품의 가치 평가에는 영향을 주지 않는다.
- 이와 동시에 위험중립 가치평가 프로세스는 강력한 장점을 가지고 있다. 위험중립 가정 하에서 파생상품의 가치평가는 매우 단순해진다는 것인데, 첫째로 기초자산의 기대수익률을 무위험이자율로 사용할 수 있다. 둘째, 미래 현금흐름의 현재가치를 평가할 때 할인율은 무위험이자율로 사용하면 된다. 즉, 투자자들의 위험 감수를 반영해 기대수익률 또는 할인율을 결정해야 하는 피곤한, 그리고 신뢰불가능한 작업을 회피할 수 있다는 것이 장점이다.
2.2. 위험중립 가치평가와 이항모형
- 이항모형이 위험중립 가치평가의 한 형태인 이유를 알아보자. 1기간 이항모형에서 옵션의 가치 $f$는 다음과 같은 해석적 해를 갖는다는 것을 앞 장에서 확인했다.
$$e^{-rT}[pf_{u}+(1-p)f_{d}]$$
- 이때 $e^{rT}$는 할인 인자이고, 할인율로 무위험이자율 $r$이 사용된 것을 알 수 있다. 그렇다면 대괄호 안의 항은 옵션의 기대수익을 위험중립적으로 평가한 것이 되지 않을까? 답은 그렇다이다.
- 우선 $f_{u}$와 $f_{d}$는 만기에 주가가 상승했을 때와 하락했을 때, 각각의 상황에서 옵션이 지급하는 수익이다. 대괄호 안의 항이 위험중립적 기대수익이 되기 위해서는 가중치 $p$가 주가가 상승할 위험중립적 확률로 해석 가능하면 된다.
- $p$가 위험중립적 확률이라는 점을 확인하기 위해 다음과 같은 실험을 해보자. 만약 $p$가 주가가 상승할 확률로 사용된다면 만기의 기대 주가는 다음과 같다.
$$E[S_{T}] = pS_{0}u + (1-p)S_{0}d = pS_{0}(u-d)+S_{0}d$$
- 그런데 $p = \frac{e^{-rT}-d}{u-d}$이므로,
$$E[S_{T}] = S_{0}e^{rT}$$
- 즉, $p$가 주가가 상승할 확률로 사용된다면, 만기의 주가는 현재 주가가 만기까지 무위험이자율로 증가했을 때의 값이 된다. 따라서 $p$는 위험중립적 주가 상승 확률이 되며, 이를 활용한 옵션 가치 평가 모형인 이항 모형도 위험중립 가치평가 모형의 한 종류이다.
- 이항모형에서 옵션 가격을 구할 때는 그냥 위험중립 상승확률인 $p$를 구한 후에 옵션의 기대수익을 구해서 무위험이자율로 할인하는 방법을 실용적으로 많이 쓴다.
2.3. 위험중립 가치평가의 재검토
- 위험중립 가치평가 방법이, 투자자의 위험회피가 중립적이라는 가정을 사용해서 옵션의 가치평가를 수월하게 해준다는 점을 지적했다.
- 현재 주가 20달러, 행사가격 20달러인 콜옵션을 생각하자. 주식의 상승비율 10%, 하락비율 10%, 무위험이자율 4%, 만기 3개월이면 위험중립 상승확률 $p$는
$$p = \frac{e^{0.04*3/12}-0.9}{1.1-0.9} = 0.5503$$
- 따라서 위험중립적으로 평가한 옵션의 가격은
$$e^{-0.04*3/12}(0.5503*1+0.4497*0) = 0.5448$$
- 한편, 실제의 투자자는 위험회피형이어서 주식의 기대수익률이 무위험이자율보다 높은 10%라고 하자. 그러면 주식의 기대수익률이 10%가 되도록 하는 주식의 상승확률 $p^{*}$는 다음을 만족해야 한다.
$$20e^{0.10*3/12} = 22p^{*} + 18(1-p^{*})$$
$$\therefore p^{*} = 0.6266$$
- 계산된 $p^{*}$를 사용해서 옵션의 가격을 구하기 위해서는 옵션의 기대수익을 현가화할 할인율을 구해야 한다. 위험중립 가정 하에서는 무위험이자율이 주식의 기대수익률임과 동시에 옵션 기대수익의 할인율이었는데, 주식과 옵션의 위험이 다르더라도 투자자는 이를 신경쓰지 않으므로 동일하게 무위험이자율을 적용한다는 가정이 있기 때문이다.
- 하지만 위험회피형 투자자를 가정할 경우, 일반적으로 주식보다 옵션의 위험이 더 높으므로, 옵션에 대해서는 더 높은 기대수익률(따라서 더 높은 할인율)을 적용해야 한다. 그러나 그 할인율이 얼마인지는 알 수가 없다. 이 점이 위험중립가치평가를 사용하는 것이 더 편리한 이유이다.
- 만약 위험회피형 투자자의 할인율을 구하려면, 위험중립적으로 평가된 옵션의 가격을 먼저 구한 후에, 이 가격을 성립시키는 할인율을 찾아야 할 것이다. 아래의 식을 만족하는 할인율 $r_{A}$는 0.5596이다.
$$e^{-r_{A}*3/12}(0.6266*1+0.3734*0) = 0.5448$$
3. 2기간 이항 모형
- 1기간 이항 모형은 너무 단순하다고 느꼈을 것이다. 왜냐하면 만기까지 단 한 번의 time step으로 기초자산 가격이 결정된다는 가정 때문이다. 2번의 time step을 거치는 2기간 이항 모형에서 가치가 어떻게 결정되는지 알아보자.
- 현재 주가는 20달러, 무위험이자율은 연 4%, 행사가격은 21달러이다. 만기는 6개월인데, 기간을 둘로 쪼개서 3개월에 한 번씩 주가가 변화한다. 매번 변화할 때마다 주가는 10% 오르거나 10% 하락한다.
- 접근은 간단하다. 먼저 만기에 기초자산의 가격이 얼마가 될지를 구한다. 이 예시에서는 10%씩 주가가 오르거나 내리므로 주가가 가질 수 있는 값은 $20*1.1*1.1 = 24.2$, $20*1.1*0.9 = 19.8$, $20*0.9*0.9 = 16.2$의 세 가지 값이다.
- 그런 후 중간 단계에서 옵션의 가치를 구한다. 중간 단계는 두 가지의 노드로 구성되므로, 각 노드는 1기간 이항 모형이 된다. 앞 장에서 말한 방법을 통해 중간 단계의 두 가지 노드에서의 각 옵션 가격을 구한다.
- 마지막으로, 초기 옵션 가격은 중간 단계에서 직면하게 될 두 가지 옵션 가격으로 구성된 1기간 이항 모형이 된다. 마찬가지로 앞 장에서 다룬 방법에 따라 옵션 가격을 구하면 된다.
- 설명한 내용을 일반화하면 다음과 같다. 만기에 도달하는 3가지의 옵션 가치(3가지의 주가에 각각 대응하는)를 각각 $f_{uu}, f_{ud}, f_{dd}$라고 하자.
- 중간 단계에서의 옵션 가치 $f_{u}, f_{d}$는 두 가지의 가능한 값을 갖는다. 이들은 각각의 중간 단계 노드에서 1기간 이항모형을 사용해 위험중립적으로 평가한 옵션 가치이다. 이 시점에서 잔존만기는 전체 만기 $T$가 아니라 남은 기간인 $\Delta t$가 된다.
$$f_{u} = e^{-r \Delta t}[pf_{uu}+(1-p)f_{ud}]$$
$$f_{d} = e^{-r \Delta t}[pf_{ud}+(1-p)f_{dd}]$$
- 초기의 옵션 가치는 중간 단계에서 직면하는 2가지의 옵션 가치에 대하여 위험중립적으로 평가한 옵션 가치이다.
$$f = e^{-r \Delta t}[pf_{u}+(1-p)f_{d}]$$
- 만기 옵션 가치를 사용해서 나타내면 다음과 같다.
$$f =e^{-r 2\Delta t}[p^{2}f_{uu}+p(1-p)f_{ud}+(1-p)^{2}f_{dd}]$$
이때, $2\Delta t = T$
- 결국 2기간 이항 모형에서의 옵션 가치는 2기간 후의 옵션의 가치들을 위험중립적으로 평가해 현재가치화한 것일 뿐이다.
- 이제 확장하는 것은 아주 쉽다. 3기간 이항 모형, 4기간 이항 모형, ... 에서 옵션의 현재 가치는 모두 n기간 이후의 옵션 가치를 위험중립적으로 평가한 것일 뿐이다. 그리고 이때 n이 무수히 커진다고 가정해보자(즉, time step의 보폭 \Delta t$를 0으로 수렴시켜서 만기까지의 기간을 연속적으로 쪼갠다). 그렇다면 만기에 주가가 도달하게 되는 상태는 0보다 큰 모든 실수가 될 것이다.
- 이항모형을 보고 처음 드는 생각은 주가가 단지 얼만큼 오르거나 내린 몇 가지의 경우의 수만 고려해서 옵션 가치를 평가할 수 있을까?이다. 하지만 이 단순한 이항모형을 확장하기만 하면 현실에서 주가가 가질 수 있는 모든 상태(0보다 큰 실수)를 고려한 옵션 가치 평가 모형이 된다. 결국 현실의 옵션 가치 평가에도 고민 없이 적용할 수 있는 강력한 모형인 것이다.
- 또 한가지, time step이 연속적으로 쪼개진 이항모형에서 위험중립가치평가로 구한 옵션의 가격은 블랙-숄즈-머튼 모형의 옵션 가격의 해석적 해와 동일하다. BSM은 만기 주가수익률이 정규분포라고 가정했는데, 이항모형에서 만기주가수익률은 이항분포가 된다. 그리고 이항분포에서 모수 n에 극한을 취하면 이항분포가 정규분포로 근사된다는 것이 알려져있다. 따라서 이항모형의 극한적인 결과는 BSM의 결과와 같아진다.
4. 풋옵션과 아메리칸 옵션의 이항모형
4.1. 풋옵션의 이항모형
- 지금까지는 콜옵션에 대한 이항모형만을 다루었다. 하지만 아주 간단한 변형으로 풋옵션과 아메리칸 옵션에 대한 모형으로도 사용할 수 있다.
- 가령 풋옵션에 대한 이항모형이라면, 각각의 time step에서 주가가 오른 경우와 내린 경우의 옵션 가치를 반대로 하면 된다. 왜냐하면 풋옵션은 주가가 행사가격보다 낮을수록 수익이 커지는 상품이기 때문이다.
4.2. 아메리칸 옵션의 이항모형
- 아메리칸 옵션에 대한 이항모형이라면, 조금은 더 생각할 것이 있다. 일단 아메리칸 콜옵션은 이전 포스트에서 다루었듯이 조기행사가 최적이 아니기 때문에 유로피안 콜옵션과 동일하다. 하지만 아메리칸 풋옵션은 조기행사가 최적일 수 있다. 다음의 예시를 보자.
- 기초자산인 주식의 가격은 현재 50달러이고, 만기는 2년, 매 스텝(1년)마다 20%씩 오르거나 내리는 2기간 이항 모형이다. 무위험이자율은 연 5%라고 가정하자. 행사가격은 52달러이다. 따라서 위험중립상승확률 $p = 0.6282$이다.
- 만기에 가질 수 있는 주가는 72달러, 48달러, 32달러이고 각각의 주가에서 옵션의 가치는 0달러, 4달러, 20달러가 될 것이다.
- 중간 시점에서 옵션의 가치를 생각해보자. 주가가 1번 오른 경우에서는(그림에서 두번째 단계의 1번째 노드) 위험중립가치평가로 얻은 옵션의 가치는 $e^{-0.05}[0.6282*0+0.3718*4] = 1.4147$달러이다. 만약 이 노드에서 조기행사를 한다면 수익은 -8달러가 되므로 조기행사하지 않는 것이 최적이다. 따라서 이 노드에서 조기행사를 하지 않으며, 옵션 가치는 1.4147달러가 된다.
- 주가가 1번 내린 경우(그림에서 두번째 단계의 2번째 노드) 위험중립가치평가를 하면 옵션 가치는 $e^{-0.05}[0.6282*4+0.3718*20] = 9.4635$달러이다. 만약 이 노드에서 조기행사를 한다면 수익은 12달러이므로 조기행사를 하는 것이 최적이다. 따라서 이 노드에서는 조기행사를 하며, 옵션 가치는 12달러이다.
- 그러므로 중간 노드에서 옵션의 가치는 1.4147달러이거나 12달러이고 첫 노드에서 위험중립가치평가를 실시하면 옵션의 가격은 $e^{-0.05}[0.6282*1.4147+0.3718*12] = 5.0894$달러이다.
- 이런 방식으로 아메리칸 풋옵션의 가치 평가를 할 때는, 각 노드에서 조기행사를 하는 것이 최적인지를 따져보고 그 노드에서의 옵션 가치를 구해야 하는 약간 번거로운 과정이 추가된다. 그 외에는 동일하다.
- 그럼 아메리칸 옵션보다도 복잡한 다양한 이색옵션(exotic option)들도 이런 조작을 조금만 추가하면 된다는 것을 이해할 수 있다.
4.3. 배당주 옵션, 통화옵션, 선물옵션
- 주식이 아닌 다른 기초자산을 가지는 옵션들도 그 기초자산의 특성을 고려해 이항모형의 각 노드에서의 가치함수를 조금 수정하기만 하면 된다. 대표적인 가령 연속배당수익률 $q$를 만기 동안 지급하는 옵션이라면 위험중립확률이 다음과 같이 살짝 바뀐다. 캐리(carry)를 고려한 수익률을 생각하면 이해하기 어렵지 않다.
$$p = \frac{e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}$$
- 통화옵션이라면 위험중립확률이 다음과 같이 바뀐다. 국내이자율이 $r_{d}$이고 해외이자율이 $r_{f}$라면 해외통화를 기초자산으로 하는 옵션의 이항모형에서
$$p = \frac{e^{(r_{d}-r_{f})\Delta t}-d}{u-d}$$
- 선물옵션이라면 위험중립확률이 다음과 같이 바뀐다.
$$p = \frac{1-d}{u-d}$$
- 여기서 왜 $e^{r}$ 등이 아닌 1이 들어갔는지 의아할 수 있다. 주식옵션에서 기초자산은 주식이었고, 이때 $r$은 기초자산의 기대수익률이었으며, 위험중립세계에서 그 기대수익률은 무위험수익률 $r$이었다.
- 그런데 선물옵션의 기초자산은 선물이고, 위험중립세계에서 선물의 기대수익률은 0이 된다. 다음 설명을 이해해보자. 이전 포스팅에서, 선물가격은 기대현물가격과 다음의 관계가 있음을 보였다. 투자자의 요구수익률이 $k$일 때,
$$F_{0} = E[S_{T}]e^{(r-k)T}$$
- 그런데 만기에 현물가격은 선물가격과 동일하므로,
$$F_{0} = E[F_{T}]e^{(r-k)T}$$
- 위험중립세계에서는 투자자의 요구수익률이 무위험이자율과 동일하므로
$$F_{0} = E[F_{T}]$$
- 즉 위험중립세계에서 선물의 기대수익률은 0이 되는 셈이다. 그래서 선물옵션의 이항모형에서 위험중립상승확률 $p$는 위에 적은 바와 같다.
5. 변동성의 반영
- 현실 옵션 가치 평가에 이항 모형을 적용하려면 주가상승률 u와 하락률 d는 임의로 정해서는 안 된다. 이 모수들은 주가가 얼만큼 변동하는지를 측정하는 것과 관련이 있으므로 현실에서 추정된 주가수익률의 변동성을 반영해서 결정되어야 한다.
- 수익률의 분산이 현실에서 $\sigma^{2}$로 추정되었다고 하자. 분산은 시간에 대해 선형적으로(표준편차는 제곱근으로 증가함) 증가하는 성질이 있으므로, 주어진 한 번의 time step의 길이가 $\Delta t$라면 time step 동안의 변동성은 $\sigma^{2} \Delta t$이다.
- 분산의 식은 잘 알다시피 $E[X^{2}] - E[X]^{2}$이다. 이항모형의 세계에서 수익률의 분산은 따라서 다음과 같다.
$$p(u-1)^{2} + (1-p)(d-1)^{2} - [p(u-1)+(1-p)(d-1)]^{2}$$
- 이 값이 추정된 분산과 같다고 두고, 정리하면 주가상승률 u와 하락률 d는 다음과 같다.
$$u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$$
$$d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$$
- 이제 위험중립확률 $p$를 구할 때 이 파라미터들을 사용하면 된다. 아주 쉽다.
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