파생상품 이론 #9 Black-Scholes-Merton 모형

이 시리즈는 파생상품 이론 분야에서 가장 유명한 교재인 Hull(2021)의 "Options, Futures and Other Derivatives (11th)"을 요약한 것일 뿐이다. 아래는 책 구매 링크

Options, Futures, and Other Derivatives

8편

파생상품 이론 #7 옵션의 성질

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수리적인 부분은 이전 포스팅에 더 자세히 나와있다.

Black-Scholes-Merton Model #2: 옵션 가격의 해석적 해(Analytic Solution)

1. 주가의 Log-Normal Distribution

1.1. 주가의 확률 분포의 유도

• BSM 모형에서 주가의 수익률은 주어진 짧은 기간 동안 정규분포를 따른다고 가정한다. 즉

$$\frac{\Delta S}{S} \sim \phi(\mu \Delta t, \; \sigma^{2} \Delta t)$$

또는

$$\Delta S \sim \mu S \Delta t + \sigma S \Delta W_{t}$$

이때, $$\Delta W_{t} \sim \phi (0, \; \Delta{t})$$

 

• Ito's Lemma에 의해, $$lnS = f(S)$$는 다음의 확률 분포를 따른다.

$$\Delta lnS \sim \phi((\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})\Delta t, \; \sigma^{2} \Delta t)$$

 또는

$$lnS_{T} - lnS_{0} \sim \phi((\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})T, \; \sigma^{2} \Delta T)$$

좀 더 정리하면

$$lnS_{T} \sim \phi(lnS_{0} + (\mu - \frac{\sigma^{2}}{2})T, \; \sigma^{2} \Delta T)$$

 

• 이는 주가가 로그정규분포(Log-Normal Distribution)를 따른다는 사실을 보여준다(BSM의 가정 하에서).

 

• 주어진 로그정규분포로부터, T 시점에서의 주가의 기대값과 분산을 구할 수 있다.

$$E[S_{T}] = S_{0}e^{\mu T}$$

$$Var[S_{T}] = S_{0}^{2}e^{2\mu T}(e^{\sigma^{2} T} - 1)$$

 

• 만약 현재 주가가 20달러이고, 기대수익률은 연 20%, 변동성은 연 40$이라고 하자. 1년 후 주가의 기대값과 분산은

$$E[S_{T}] = 20e^{0.2*1} = 24.4281$$

$$Var[S_{T}] = 20^{2}e^{2*0.2*1}(e^{0.4^{2}*1} - 1) = 103.53912$$

$$Std.\, dev(S_{T}) = 10.1754$$

 

1.2. 주가수익률의 확률분포

• 위에서 살펴본 것은 BSM 가정 하에서 '주가'의 확률분포이다. 여기서는 주가의 '수익률'의 확률분포를 살펴보자. 초기로부터 일정한 시점 T까지 실제로 실현된 연속복리 수익률이 x라면 다음의 식이 성립한다.

$$S_{T} = S_{0}e^{xT}$$

또는

$$x = \frac{1}{T}ln\frac{S_{T}}{S_{0}}$$

따라서,

$$x \sim \phi(\mu - \frac{\sigma^{2}}{2}, \; \frac{\sigma^{2}}{T})$$

 

• 흥미로운 것은 주가수익률의 분산은 고려하는 기간이 길수록 감소한다는 것이다. 직관적이지 않게 보일수도 있지만, 사실 그 반대이다. 고려하는 기간이 길수록, 그 기간 동안 실현될 수익률은 상대적으로 안정된 값을 갖는다.
  • 1일 동안의 일일 연속복리 수익률은 극단적인 값이 나올 수도 있지만, 30일, 6개월, 1년 동안의 일일 연속복리 수익률은 평균 주변에서 실현될 확률이 높다. 
  • 약간 헷갈릴 수 있다. 헷갈리는 이유는 이 연속복리수익률 x가 T기간 동안의 총 수익률이라고 생각하기 때문이다. 그게 아니라 T기간 동안 연속적으로 실현되는 수익률이 x이다. 그래서 T가 커질수록 더 많은 수익률 x가 샘플로 주어지고 그 샘플로부터 히스토그램을 그려보면 어쨌거나 평균 주변에 분포한다. 하지만 단 하루의 수익률 샘플만 보면 어떤 극단적인 값이 나올지 모른다.

 

• 또 한 가지 흥미로운 것은, 연속복리 수익률의 기대값이 $\mu \Delta$와 다른 값이라는 것이다. 정확히는 그보다 아주 약간 작다. 왜냐하면 $\mu \Delta$는 $\frac{\Delta S}{S}$의 평균인데, $\frac{\Delta S}{S}$와 $x$는 서로 다른 개념이기 때문이다. 아래 예시를 보자.

 

• 10000원일 때 주식을 매입했고 5년 동안 연말의 주가가 12000원, 11000원, 9500원, 13000원, 13500원이라고 하자. 이때 매년의 연간 수익률은 다음의 5개의 값이다. 
  
  • 0.2, -0.091, -0.136, 0.368, 0.037

 

• 연간수익률의 평균을 두 가지 방법으로 구할 수 있는데,
  • 산술평균의 관점에서는 (0.2 - 0.091 - 0.136 + 0.368 + 0.037)/5 = 0.0756
  • 기하평균의 관점에서는 {(1+0.2)*(1-0.091)*(1-0.136)*(1+0.368)*(1+0.037)}^{1/5}-1 = 0.0598

 

• $\mu \Delta$는 산술평균에 대응하고, $\mu - \frac{\sigma^{2}}{2}$는 기하평균에 대응한다. 

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2. 변동성

• 앞에서는 대략적으로 다루고 넘어갔지만 변동성이란 주가수익률의 불확실성을 측정하는 수단이다. 일반적으로 이 불확실성을 주식수익률의 표준편차 $\sigma$로 측정한다.

 

• 수익률의 분포로부터 보았듯이 수익률의 변동성은 시간에 대하여 제곱근으로 증가한다.

 

2.1. 변동성의 추정: Realized Volatility

• 그런데 주식수익률의 변동성을 어떻게 측정해 모형에 반영할지가 문제가 된다. 한 가지 방법은 과거 수익률 자료로부터 표준편차를 직접 구하는 것이다. 만약 일별 수익률의 변동성을 구하는 것이 관심이라면, 표준편차는 다음과 같다.

 

$$\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^{n}(u_{i}-\bar{u}^{2})}$$

 

• 보통 주가수익률은 로그수익률 $\ln(\frac{S_{t+1}}{S_{t}})$을 사용하며, 일별수익률의 평균은 0이라고 가정한다.

 

• 일별수익률이 추정된 후에, T일 동안의 주식수익률의 표준편차는 다음과 같다. 표준편차는 시간에 대해 제곱근으로 증가한다고 했으므로,

 

$$\hat{\sigma}_{*} = \hat{\sigma}\sqrt{T}$$

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3. BSM Model

• BSM model에서 유로피안 콜옵션의 가격의 해석적 해 $c$는 다음과 같다. BSM 편미분방정식과 그 해를 유도하는 과정은 상단에 첨부한 예전 포스팅에서 자세히 다루고 있다.

$$c = S_{0}N(d_{1}) - Ke^{-rT}N(d_{2})$$

이때,

$$d_{1} = \frac{ln(\frac{S_{0}}{K}) + (r+\frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma \sqrt{T}}$$

$$d_{2} = d_{1} - \sigma \sqrt{T}$$

 

3.1. BSM 모형과 위험중립 가치평가

• BSM의 해석적 해를 다음과 같이 수정할 수 있다.

$$c = e^{-rT}[S_{0}e^{rT}N(d_{1}) - KN(d_{2})]$$

 

• 이때 S_{0}e^{rT}는 주가가 무위험이자율로 성장했을 때의 만기 주가이고, K는 만기에 지급될 행사가격이므로 BSM의 해석적 해는 만기 주가에서 행사가격을 뺀 것, 즉 만기 수익을 현재가치로 할인한 것이라고 이해할 수 있다. 

 

• 이런 사실은 BSM의 콜옵션 가치 결정 모형도 위험중립적 가치평가의 한 형태라는 것을 시사한다. 또한 콜옵션의 가격을 결정함에 있어서 주가의 기대상승률은 중요하지 않고 무위험이자율을 사용하면 된다는, 위험중립적 가치평가의 강력함을 재확인해준다.

 

3.2. 누적정규분포항의 이해

• 그런데 사실 옵션의 만기 수익은 단지 주가에서 행사가격을 뺀 것이 아니라 $max(S_{T}-K,0)$이 된다. 누적정규분포항은 이 점을 반영해주기 위한 것이다.
  • 행사가격 $K$는 옵션이 행사될 때에만 지급되는 것이므로 $N(d_{2})$는 옵션이 행사될 확률, 즉 만기에 주가가 행사가격보다 높을 확률이 된다.
  • $N(d_{1})$도 주가가 행사가격보다 높을 확률로 해석할 수 있다. 왜냐하면 주가가 행사가격보다 높을 때에만 옵션이 행사되고 주식을 매입해 재매도하는 것이 가능하기 때문이다. 하지만 주가는 행사가격보다 높아야할 뿐만 아니라 지급된 프리미엄을 상쇄하는 차익이 발생할 만큼 높아야 한다. 
  • $N(d_{1})$가 $N(d_{2})$보다 작은 값을 가지리라는 점을 알 수 있는데, 이 사실도 방금 전 해석과 일관성을 갖는다. 주가가 옵션 보유자에게 의미를 갖기 위해서는 주가가 행사가격 + 프리미엄만큼 높아야하고, 그 확률은 주가가 단지 행사가격보다 높을 확률보다 작다.

 

• 위의 식을 한 번 더 수정하면 다음과 같다.

$$c = e^{-rT}N(d_{2})[S_{0}e^{rT}\frac{N(d_{1})}{N(d_{2})} - K]$$

 

• 만기 주가항에 붙은 것은 조건부 확률이 된다. 즉 주가가 행사가격보다 높을 때, 주가가 행사가격 + 프리미엄보다도 높을 확률이다.

 

• 만약 현재 주가가 행사가격보다 매우 크다면,

$$d_{1}, \, d_{2} \rightarrow \infty$$

이므로

$$N(d_{1}), \, N(d_{2}) \rightarrow 1$$

이 된다.

 

• 그러면 BSM의 옵션 가격은 단지 옵션 행사 시의 수익의 현재가치일 뿐이다. 왜냐하면 행사될 것이 거의 확실하기 때문이다.

$$c \rightarrow S_{0} - Ke^{-rT}$$

 

 

• 반대로 현재 주가가 행사가격보다 매우 작다면 옵션 가격은 0으로 수렴할 것이다.

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4. 내재변동성

• BSM 모델로부터 얻을 수 있는 흥미로운 정보는 내재변동성(Implied Volatility)이다. BSM 모델에서 옵션 가격을 결정하기 위해 필요한 독립변수는 현재 주가, 행사가격, 잔존만기, 무위험이자율, 변동성이다.

 

• 그런데 사실 변동성이 얼마라고 정확히 추정하기는 어렵다. 하지만 시장에서는 어쨌건 옵션 가격이 책정되어 거래되고 있다. 그럼 BSM 모델이 맞다는 가정 하에서, 변동성이 얼마이길래 옵션 가격이 주어진 바와 같이 계산된 것인지를 역으로 계산할 수 있다. 이렇게 계산된 변동성을 내재변동성이라고 한다. BSM의 가정 하에서 시장참가자들이 평가하는 시장의 변동성을 보여주기 때문이다.