파생상품 이론 #7 옵션의 성질

이 시리즈는 파생상품 이론 분야에서 가장 유명한 교재인 Hull(2021)의 "Options, Futures and Other Derivatives (11th)"을 요약한 것일 뿐이다. 아래는 책 구매 링크

Options, Futures, and Other Derivatives

6편

파생상품 이론 #6 스왑

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• 옵션의 기본적인 손익구조와 활용에 대해서는 이전 포스팅에서 소개했다. 여기서는 옵션의 가격과 관련한 논의들을 자세히 살핀다.

1. 옵션 가격의 결정 요인

1.1. 주가와 행사가격

• 만기 주가 $S_{T}$와 행사가격 $K$에 대하여, 콜옵션의 만기 시 손익은 $max(S_{T} - K)$이다. 따라서 주가가 오를수록 콜옵션의 가격은 높아지고, 행사가격이 낮을수록 콜옵션의 가격은 높아진다.
• 만기 주가 $S_{T}$와 행사가격 $K$에 대하여, 풋옵션의 만기 시 손익은 $max(K - S_{T})$이다. 따라서 주가가 내릴수록 콜옵션의 가격은 높아지고, 행사가격이 높을수록 콜옵션의 가격은 높아진다.

 

1.2. 잔존만기와 변동성

• 만기에 대해서 옵션의 가격은 증가한다. 왜냐하면 만기가 길어질수록 기초자산의 가격이 행사가격을 초과하거나 하회할 가능성이 많아지기 때문이다. 전자의 경우에는 콜옵션, 후자의 경우에는 풋옵션의 가격이 높아진다.
• 물론 길어진 만기 동안 가격이 불리한 방향으로 이동할 가능성도 함께 늘어난다. 하지만 옵션은 유리한 상황에서만 행사되므로, 불리한 방향으로 가격이 변화할 경우의 손익은 항상 0이다. 반면 유리한 방향으로 가격이 변화한다면 이론적으로 손익의 제한이 없다. 따라서 만기가 길어진다는 것은 기대 손익이 증가하는 것만을 의미하게 된다.
•  변동성에 대해서도 옵션의 가격은 증가한다. 이는 잔존만기에 대한 것과 동일한 이유 때문이다. 변동성이 증가하면 가격이 행사가격을 초과하거나 하회하게 될 가능성이 증가하고, 옵션 손익구조의 특성으로 인해 유리한 변동 가능성이 옵션 가격에 더 크게 영향을 준다.

 

1.3. 무위험이자율

• 무위험이자율이 증가하면 콜옵션의 가격은 증가한다. 왜냐하면 콜옵션 소유자가 만기에 지급해야 할 행사가격이 고정돼있을 때, 무위험이자율이 증가하는 것은 만기 대금의 현재가치가 하락하는 것을 의미하기 때문이다.
• 반면 무위험이자율이 증가할 때 풋옵션의 가격은 하락한다. 풋옵션은 만기에 행사가격을 지급받는 옵션이므로, 무위험이자율 상승으로 만기 대금의 현재가치가 하락하는 것은 불리한 상황을 의미한다.
• 그러나 이런 논의들은 모두 다른 요인들이 모두 고정돼있을 때 무위험이자율만 증가한다는 가정을 깔고 있다. 하지만 일반적으로 무위험이자율이 증가하면 기초자산인 주식의 가격은 하락하는 경향이 있다. 그리고 주식의 가격이 하락하면 콜옵션 가격은 내려가고 풋옵션 가격은 올라가므로, 무위험이자율이 옵션 가격에 미치는 영향력은 이론적으로는 모호하다. 

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2. 옵션가격의 범위

• 여기서는 옵션가격의 범위를 다룬다. 사실 옵션가격이론을 조금 공부한 사람이라면 굳이 이런 걸 왜 배워야 하나 싶을 수도 있다. 왜냐하면 이후 포스팅들에서 다룰 이항모형이라든가, BSM 모형 등에서 옵션 가격의 해석적 해가 유도되기 때문이다.
• 하지만 이런 생각을 하는 것은 옵션, 나아가 파생상품 이론에 대해서 아직 잘 모르기 때문이다. 이항모형이나 BSM 모형 등 학계에 알려진 옵션가격결정 모형들은 모두 비현실적인 가정들에 기초하고 있다. 그래서 정확한 옵션가격이 어떻게 되어야 하는가는 아무도 모르고 트레이더들은 정형화된 이론에 기반하되 자신의 주관적인 평가를 담아 옵션을 매매한다.
• 그런데 이 장에서 다룰 내용들은 아주 기본적인 가정(Non-Arbitrage)만 사용한 상태에서 논의된다. 즉 BSM 모형이 틀릴 수는 있더라도 여기서 다루는 내용들은 절대적으로 성립한다.

 

2.1. 유로피안 콜옵션 가격의 범위

• 만기 시에만 행사될 수 있는 옵션을 유로피안(European) 옵션이라고 한다. 반면 만기 이전에 언제든지 행사 가능한 옵션을 아메리칸(Americna) 옵션이라고 한다. 보통 옵션이라고 하면 유로피안 옵션을 이야기한다.

 

• 유로피안 콜옵션의 가격은 첫째, 현재 주가보다 클 수 없다. 콜옵션은 주식을 매입하는 권리일 뿐이므로, 주식 그 자체를 보유하는 것보다 콜옵션 가격이 비쌀 수는 없다.

$$C \leq S_{0}$$

 

• 둘째, 유로피안 콜옵션의 가격은 다음의 하한선을 가진다. 우변은 만기에 콜옵션을 행사해 얻는 손익의 현재가치이다. 당연히 그보다는 커야할 것이다.

$$C \geq max(S_{0} - Ke^{-rT}, 0)$$

 

• 맥시멈 함수가 붙는 까닭은 콜옵션의 만기 현금흐름이 0보다 작아질 수는 없기 때문이다. 아무튼 종합하면 다음과 같다.

$$max(S_{0} - Ke^{-rT}, 0) \leq C \leq S_{0}$$

 

2.2. 유로피안 풋옵션 가격의 범위

• 먼저 유로피안 풋옵션의 가격은 풋옵션을 만기에 행사했을 때 얻는 손익의 현재가치보다는 커야 한다.

$$P \geq max(Ke^{-rT} - S_{0}, 0)$$

 

• 다음으로 풋옵션 가격의 상한선은,

$$P \leq Ke^{-rT}$$

 

• 이 식은 약간은 덜 직관적이다. 하지만 이 식이 성립하지 않으면 차익거래가 발생한다. $P > Ke^{rT}$인 경우, 투자자는 풋옵션을 매도하고 프리미엄 $P$를 수취한다. 수취한 대금을 무위험이자율로 투자하면 만기에 $Pe^{rT}$가 된다. 동시에 만기에 투자자가 옵션 롱포지셔너에게 지금해야 할 금액은 행사가격 $K$이다. 그러므로 무위험차익 $Pe^{rT} - K$가 발생한다.

 

• 종합하면 다음과 같다.

$$max(Ke^{-rT} - S_{0}, 0) \leq P \leq Ke^{-rT}$$

 

2.3. 아메리칸 콜옵션 가격의 범위

• 배당금을 지급하지 않는 주식이 기초자산이라면, 아메리칸 콜옵션의 가격 범위는 유로피안 콜옵션의 그것과 동일하다. 왜냐하면 무배당 주식 콜옵션의 조기행사는 결코 최적이 될 수 없기 때문이다. 만약 아메리칸 콜옵션이 조기행사되지 않는다면, 이는 유로피안 콜옵션과 다를 바가 없다. 따라서, 아메리칸 콜옵션 가격 $C_{A}$에 대하여

$$max(S_{0} - Ke^{-rT}, 0) \leq C_{A} \leq S_{0}$$

 

• 그렇다면 왜 무배당 주식의 아메리칸 콜옵션은 조기행사를 하지 않는 것이 최적일까? 어떤 투자자가 무배당 주식의 아메리칸 콜옵션 1개와, 콜옵션의 행사가격에 필요한 대금을 현금으로 가지고 있다고 하자. 만약 이 투자자가 현재 시점 t에서 콜옵션을 행사한다면 보유한 포지션의 가치는,

 

t시점에서 조기행사 시 포지션 가치 = $S_{t} - K$

 

• 만약 행사하지 않고 만기까지 기다리기로 한다면, 투자자의 포지션 가치는,

 

t시점에서 조기행사하지 않는 포지션 가치 = $S_{t} - K + K = S_{t}$

 

• 즉 조기행사를 하지 않을 때의 포지션 가치가 항상 더 크다. 물론 조기행사를 하지 않는 것이 만기 시점에서 꼭 더 높은 수익을 주는 것은 아니다(공부할 때 이것 때문에 헷갈렸다). 만기에 주가가 고꾸라져있을 수도 있기 때문이다. 그러나 지금 시점에서 콜옵션을 행사하지 않고 기다릴 때, 투자자의 포지션의 '가치'가 더 크다는 것에 집중하자.

 

• 왜 조기행사를 하지 않고 콜옵션을 만지작거리는 상황이 더 나을까? 두 가지 이유가 있다. 첫째는 행사가격을 당장 지불하지 않고 무위험자산에 투자해둘 수 있기 때문이다. 둘째는 주가가 지금보다 더 유리한 방향으로 움직일 가능성이 남아있기 때문이다. 물론 안 그럴 수도 있다. 앞서 말했듯이 조기행사가 최적이 아니라는 의미는, 실제로 만기에 더 높은 수익을 항상 가져다준다는 것이 아니라 지금 들고 있는 포지션의 평가된 가치가 더 크다는 이야기일 뿐이다.

 

2.4. 아메리칸 풋옵션 가격의 범위

• 아메리칸 풋옵션의 경우, 무배당 주식이 기초자산이라고 할지라도, 조기행사가 최적이 될 수 있다. 왜냐하면 풋옵션의 경우 누릴 수 있는 손익의 크기가 한정돼있다. 즉, 주가가 0이 된 경우의 손익인 $K$로 손익이 한정된다. 따라서 기초자산이 더 유리하게 변동할 것을 기대하면서 옵션 행사를 머뭇거릴 이유가 없는 경우들이 있다.

 

• 그러므로 아메리칸 풋옵션 가격의 범위는 유로피안 풋옵션의 그것과 다르다. 먼저 아메리칸 풋옵션 가격의 하한선은,

$$P_{A} \leq max(K - S_{0}, 0)$$

 

• 유로피안의 경우 $max(Ke^{-rT} - S_{0}, 0)$이었다. 만기에 발생하는 현금흐름을 현재가치화한 것이다. 그러나 아메리칸 풋옵션은 조기행사가 (법적으로 그리고 동시에 경제적으로) '가능'하므로 지금 당장 발생할 현금흐름의 가치 그대로가 된다.

 

• 다음으로, 풋옵션 가격의 상한선은 행사가격이다. 왜냐하면 지금 풋옵션을 당장 행사했을 때 받는 금액이 행사가격이기 때문이다. 종합하면 다음과 같다.

$$max(K - S_{0}, 0) \leq P_{A} \leq K$$

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3. 풋-콜 패리티(Put-Call Parity)

3.1. 유로피안 풋-콜 패리티

• 풋-콜 패리티란 다른 모든 조건이 동일한 콜옵션과 풋옵션의 가격 간에 성립해야 하는 관계를 의미한다. 다음의 관계식은 유로피안 옵션의 풋-콜 패리티를 나타낸다. 콜옵션과 풋옵션의 가격이 $C$와 $P$이고, 무위험이자율은 $r$, 잔존만기는 $T$일 때,

$$P + S_{0} = C + Ke^{-rT}$$

 

• 이 식이 성립함을 이해하기 위해 다음의 두 포트폴리오를 고려해보자. 
  • 포트폴리오 A: 행사가격이 K인 콜옵션 롱포지션 + 만기 시 K를 지급하는 순수 할인채 롱포지션
  • 포트폴리오 B: 행사가격이 K인 풋옵션 롱포지션 + 주식 롱포지션

 

• 포트폴리오 A의 만기 가치를 생각해보자. 만약 주가가 행사가격보다 높으면 콜옵션으로부터 $S_{T} - K$, 채권으로부터 $K$를 얻으므로 가치는 $S_{T}$이다. 반면 주가가 행사가격보다 낮으면 콜옵션으로부터 $0$, 채권으로부터 $K$를 얻으므로 그 가치는 $K$이다.. 따라서,

 

포트폴리오 A의 만기 시 가치 = $max(S_{T}, K)$

 

• 포트폴리오 B의 만기 가치를 생각해보자. 만약 주가가 행사가격보다 높으면 풋옵션으로부터 $0$, 주식으로부터 $S_{T}$를 얻으므로 그 가치는 $S_{T}$이다. 반면 주가가 행사가격보다 낮으면 풋옵션으로부터 $K - S_{T}$, 주식으로부터 $S_{T}$를 얻으므로 그 가치는 $K$이다. 따라서,

 

포트폴리오 B의 만기 시 가치 = $max(S_{T}, K)$

 

• 두 포트폴리오의 만기 시 가치가 동일하므로, 현재 시점에서 두 포트폴리오를 구성하는 비용은 동일해야 한다. 만약 그렇지 않다면 차익거래에 의해 저렴한 포트폴리오의 가격이 오르고 비싼 포트폴리오의 가격은 내려갈 것이다.
• 포트폴리오 A를 구성하는 비용은 콜옵션 가격과 채권 가격의 합이고, B를 구성하는 비용은 풋옵션 가격과 주식의 현재 가격의 합이다. 따라서 다음의 식이 성립한다.

$$C + Ke^{-rT} = P + S_{0}$$

 

3.2. 아메리칸 옵션의 경우

• 아메리칸 옵션의 경우, 패리티(등식)는 성립하지 않는다. 다만 다음의 식이 성립한다.

$$S_{0} - K \leq C_{A} - P_{A} \leq S_{0} - Ke^{-rT}$$

 

• 오른쪽 부등식을 먼저 이해해보자. 유로피안 풋-콜 패리티로부터,

$$C + Ke^{-rT} = P + S_{0}$$

 

• 아메리칸 풋옵션은 항상 유로피안 풋옵션보다는 비쌀 것이다. 동시에 무배당 가정 하에서 아메리칸 콜옵션과 유로피안 콜옵션의 가격은 동일하다. 즉 $C_{A} = C$이고, $P_{A} \geq P$이다. 따라서

$$C_{A} + Ke^{-rT} \leq P_{A} + S_{0}$$

$$C_{A} - P_{A} \leq S_{0} - Ke^{-rT}$$

 

• 왼쪽 부등식을 이해해보자. 차익거래 논리를 사용할 것이다. 두 개의 포트폴리오를 생각하자.
  • 포트폴리오 A: 유로피안 콜옵션 롱포지션, 현금 $K$
  • 포트폴리오 B: 아메리칸 풋옵션 롱포지션, 주식

 

• B의 풋옵션이 조기행사되지 않았다고 하자. 만기에 A의 가치는 $max(S_{T}-K) - K + Ke^{rT}$이다. 왜냐하면 
  • $S_{T} > K$이면, $S_{T} - K + Ke^{rT}$
  • $S_{T} < K$이면, $Ke^{rT}$

 

• 이때 B의 만기 시 가치는  $max(S_{T}, K)$이다. 왜냐하면
  • $S_{T} > K$이면, $S_{T}$
  • $S_{T} < K$이면, $K - S_{T} + S_{T} = K$

 

• 따라서 A의 만기 가치가 더 크므로 A를 구성하는 비용이 B의 그것보다 커야 한다. 또한 무배당 가정을 유지하면

$$C+K > P_{A}+S_{0}$$

$$C_{A}+K > P_{A}+S_{0}$$

 

• B의 풋옵션이 조기행사되었다고 하자. 조기행사된 시점이 $t=\tau$이면 이 시점에서 B의 가치는 $K$이다. 이 시점에서 조기행사됐다는 것은 $S_{\tau} < K$라는 것이므로 A의 가치는 같은 시점에서 $Ke^{r\tau}$이다. 조기행사된 경우에도 A의 가치가 더 크므로 조기행사가 없는 경우에 성립했던 위 식이 유지된다. 그리고 조금 더 정리하면

 

$$S_{0} - K \leq C_{A} - P_{A}$$

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4. 배당금의 효과

4.1. 배당금과 유로피안 풋-콜 패리티

• 지금까지 논의는 배당금을 배제한 경우에 한정된다. 현실에서는 많은 주식들이 보유 시 배당금을 지급한다. 따라서 배당금의 효과도 고려해야 한다. 먼저, (유로피안 옵션의) 풋-콜 패리티는 다음과 같이 바뀐다. 주식을 옵션 만기까지 보유하면서 얻게 되는 배당금의 현재가치를 $D$라고 할 때,

$$C + D + Ke^{-rT} = P + S_{0}$$

 

• 왜 그런지 조금만 생각해보자. 배당금은 주식 보유에서 발생한다. 그렇다면 풋옵션과 주식으로 구성되는 우변의 포트폴리오는 배당금을 추가로 지급하므로 그 가치가 상대적으로 높아졌을 것이다. 혹은 반대로 말해서 콜옵션과 채권으로만 구성된 좌변의 포트폴리오는 배당금을 지급하지 못하므로 상대적으로 가치가 낮아졌을 것이다. 그 차이는 정확히 배당금의 현재가치만큼이다.
• 즉 무배당 풋-콜 패리티의 좌변인 $C + Ke^{-rT}$가 우변인 $P + S_{0}$보다 배당금의 현재가치만큼 낮아진 상황을 바로 위에서 적은 식이 설명해주고 있다.

 

4.2. 배당금과 콜옵션 가격의 범위

• 옵션 가격의 범위는 어떻게 바뀔까? 먼저 유로피안 콜옵션의 경우,

$$max(S_{0} - D - Ke^{-rT}, 0) \leq C \leq S_{0}$$

 

• 오른쪽 부등식은 자명해보인다. 콜옵션이 주식을 매입하는 가격보다 비싸서는 안 되는데, 주식을 보유하면 배당금이 발생하므로 실질적인 주식 매입 비용은 $S_{0} - D$이다.

 

• 왼쪽 부등식은 다소 비직관적으로 느껴지므로 차익거래의 논리를 빌려 설명해보도록 하겠다. 먼저 두 개의 포트폴리오를 생각하는데 
  • 포트폴리오 A: 콜옵션 롱포지션, 현금 $D + Ke^{-rT}$
  • 포트폴리오 B: 주식 롱포지션

 

• 만기에 포트폴리오 A의 가치는 $max(S_{T}, K) + De^{rT}$이다. 왜냐하면
  • $S_{T} > K$이면 $S_{T} - K + De^{rT} + K = S_{T} + De^{rT}$
  • $S_{T} < K$이면 $De^{rT} + K$ 

 

• 한편 만기에 포트폴리오 B의 가치는 항상 $S_{T} + De^{rT}$이므로, 포트폴리오 A가 더 높은 만기 가치를 갖는다. 따라서 A를 구성하는 비용이 B를 구성하는 비용보다 커야 한다.

$$C + D + Ke^{-rT} \geq S_{0}$$

$$C \geq S_{0} - D - Ke^{-rT}$$

 

• 그런데 콜옵션 가격이 0보다 작을 수야 없으므로,

$$C \geq max(S_{0} - D - Ke^{-rT}, 0)$$

 

4.3. 배당금과 풋옵션 가격의 범위

• 옵션 가격의 범위는 어떻게 바뀔까? 먼저 유로피안 풋옵션의 경우,

$$max(Ke^{-rT} + D - S_{0}, 0) \leq P \leq Ke^{-rT}$$

 

• 오른쪽 부등식은 변한 것이 없다. 풋옵션 가격의 상한을 결정하는 차익거래 논리를 위에서 다시 살펴보면 배당금이 개입할 여지가 없음을 알 수 있다.

 

• 왼쪽 부등식은 차익거래의 논리를 빌려 설명해보자. 먼저 두 개의 포트폴리오를 생각하는데 
  • 포트폴리오 A: 풋옵션 롱포지션, 주식 롱포지션
  • 포트폴리오 B: 현금 $D + Ke^{-rT}$

 

• 만기에 포트폴리오 A의 가치는 $max(S_{T}, K) + De^{rT}$이다. 왜냐하면
  • $S_{T} > K$이면 $S_{T} + De^{rT}$
  • $S_{T} < K$이면 $K - S_{T} + S_{T} + De^{rT}  = K + De^{rT}$ 

 

• 한편 만기에 포트폴리오 B의 가치는 항상 $K + De^{rT}$이므로, 포트폴리오 A가 더 높은 만기 가치를 갖는다. 따라서 A를 구성하는 비용이 B를 구성하는 비용보다 커야 한다.

$$P + S_{0} \geq D + Ke^{-rT}$$

$$P \geq D + Ke^{-rT} - S_{0}$$

 

• 그런데 풋옵션 가격이 0보다 작을 수야 없으므로,

$$P \geq max(Ke^{-rT} + D - S_{0}, 0)$$