파생상품 이론 #5 선물 가격 결정 이론

이 시리즈는 파생상품 이론 분야에서 가장 유명한 교재인 Hull(2021)의 "Options, Futures and Other Derivatives (11th)"을 요약한 것일 뿐이다. 아래는 책 구매 링크

Options, Futures, and Other Derivatives

4편

파생상품 이론 #4 이자율

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1. 투자자산의 선도 가격

1.1. 무소득 투자자산의 선도 가격

• 아무런 중간소득을 창출하지 않는 기초자산의 선도가격 $F_{0}$는 다음과 같다. 현물가격이 $S_{0}$, 무위험이자율 $r$, 잔존만기 $T$일 때,

$$F_{0} = S_{0}e^{rT}$$

 

• 이 식이 성립하기 위해서는 Arbitrage의 부재가 가정된다. 만약 $F_{0} > S_{0}e^{rT}$이면:
  • $S_{0}$만큼을 이자율 $r$에 차입하고 현물을 매수한다. 동시에 행사가격 $F_{0}$에 선도거래 숏포지션을 잡는다. 만기에 선도거래로부터 $F_{0}$를 수취하고 원리금 $S_{0}e^{rT}$를 지급하면 무위험차익이 발생한다.

 

• 만약 $F_{0} < S_{0}e^{rT}$이면:
  • 현물을 차입하여 $S_{0}$에 매도한다(공매도). 매도대금을 무위험이자율 $r$로 투자하고 행사가격 $F_{0}$에 선도거래 롱포지션을 잡는다. 만기에 원리금 $S_{0}e^{rT}$를 수취하고, $F_{0}$에 현물을 인도받아 대주에게 상환하면 무위험차익이 발생한다. 

 

• 선도가격이 이론가격보다 저렴할 경우, 공매도를 통한 무위험 차익거래가 발생한다. 물론 현실에서 항상 공매도가 허용되지는 않는다. 하지만 이런 경우에도 기초자산을 원래 보유하고 있던 투자자라면 기초자산을 현물매도함으로써 차익 거래에 참여할 수 있다. 따라서 공매도가 불가능한 상황에서도 이론가격의 식이 성립한다.

 

1.2. 예정소득(Known Income) 투자자산의 선도 가격

• 보유기간 동안 확정된 중간소득을 지급하는 투자자산의 선도 가격은 다음과 같다. 중간소득의 현재가치가 $I_{0}$일 때,

$$F_{0} = [S_{0}-I]e^{rT}$$

 

• 이 식이 성립하기 위해서는 Arbitrage의 부재가 가정된다. 만약 $F_{0} > [S_{0}-I]e^{rT}$이면:
  • $S_{0}$만큼을 이자율 $r$에 차입하고 현물을 매수한다. 동시에 행사가격 $F_{0}$에 선도거래 숏포지션을 잡는다. 현물을 보유함으로써 얻게 될 중간소득의 현재가치가 $I$이므로, 차입으로부터 발생하는 실질척인 부채액의 현재가치는 $S_{0}-I$이다. 만기에 선도거래로부터 $F_{0}$를 수취하고 원리금 $[S_{0}-I]e^{rT}$를 지급하면 무위험차익이 발생한다.

 

• 만약 $F_{0} <[S_{0}-I]e^{rT}$이면:
  • 현물을 공매도하고 매도대금을 이자율 $r$에 투자한다. 동시에 행사가격 $F_{0}$에 선도거래 롱포지션을 잡는다. 만기에 원리금 $S_{0}e^{rT}$를 수취하고 $F_{0}$에 현물을 인도 받아 대주에게 상환한다. 대주가 받아가야 했던 중간소득의 만기 시점 가치인 $Ie^{rT}$도 함께 지급한다. $F_{0}+Ie^{rT} <S_{0}e^{rT}$가 성립하므로 무위험 차익이 발생한다.

 

1.3. 예정수익률(Known Yield) 투자자산의 선도 가격

• 자산가격에 대한 일정 수익률만큼을 확정소득으로 지급하는 투자자산의 선도가격은 다음과 같다. 보유기간 동안의 평균적인 수익률이 연속복리로 $q$라고 할 때

$$F_{0} = S_{0}e^{(r-q)T}$$

 

• 이 식이 성립하기 위해서는 Arbitrage의 부재가 가정된다. 만약 $F_{0} > S_{0}e^{(r-q)T}$이면:
  • $S_{0}$만큼을 이자율 $r$에 차입하고 현물을 매수한다. 동시에 행사가격 $F_{0}$에 선도거래 숏포지션을 잡는다. 현물을 보유함으로써 만기까지 연속복리로 $q$의 수익률이 발생하므로, 차입으로부터 발생하는 실질척인 만기 부채는 $S_{0}e^{(r-q)T}$이다. 만기에 선도거래로부터 $F_{0}$를 수취하고 원리금을 지급하면 무위험차익이 발생한다.

 

• 만약 $F_{0} < S_{0}e^{(r-q)T}$이면:
  • 현물을 공매도하고 매도대금을 이자율 $r$에 투자한다. 동시에 행사가격 $F_{0}$에 선도거래 롱포지션을 잡는다. 대주가 받아가야 할 소득은 주어진 기간동안 $q$의 수익률로 발생하므로 만기 시 투자 수입은 실질적으로 $S_{0}e^{(r-q)T}$이다. 만기에 $F_{0}$에 현물을 인도 받아 대주에게 상환하고나면 무위험 차익이 발생한다.

1.3.1. 주식선물과 통화선물의 가격

• 주식선물은 기초자산이 주식이고 주식은 통상 액면 대비 수익률로 배당을 지급한다. 따라서 주식선물은 예정수익률을 지급하는 투자자산이라고 할 수 있다. 배당수익률이 $q$라면 주식선물의 가격은

$$F_{0} = S_{0}e^{(r-q)T}$$

 

• 통화선물은 기초자산이 외환이고 외환을 보유함으로써 해당 국가의 무위험이자율만큼을 얻을 수 있다. 외환을 보유한다면 단지 현금으로 들고 있기보다는 매입한 외환을 해당 국가 자산에 투자하여 기회비용을 최소화하기 마련이다. 따라서 통화선물도 예정된 수익률을 지급하는 투자자산이라고 할 수 있다. 외국의 무위험이자율이 $r_f$이면 통화선물의 가격은

$$F_{0} = S_{0}e^{(r-r_{f})T}$$

 

• 이는 국제금융이론에서 잘 알려진 이자율 평형식(parity)이기도 하다.

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2. 선도계약의 가치 평가

• 선도계약의 행사가격과는 구분되는 개념으로, 현재 보유한 선도계약 자체의 가치를 평가할 수 있다.
• 롱포지션의 입장에서 볼 때, 선도계약에서 발생하는 현금흐름을 확정시키고 싶다면 현 시점에서의 선도가격 $F_{0}$으로 숏포지션을 취하면 될 것이다. 이 경우 만기 시에 선도가격만큼의 수입이 발생하고 동시에 기존에 체결해두었던 선도계약의 선도가격만큼의 지출이 발생한다. 따라서 선도계약의 가치는 그 차이의 현재가치이다.

 

$$f = (F_{0}-K)e^{rT}$$

K: 선도계약을 체결할 당시의 선도가격

 

• 숏포지션의 입장에서는 부호만 반대로 취하면 된다.

$$f = (K-F_{0})e^{rT}$$

 

• 선도계약을 체결하는 시점에서는 $F_{0} = K$이므로 선도계약의 가치가 제로이지만 시간이 지남에 따라 선도계약의 가치는 양이나 음의 값을 가질 수도 있다.

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3. 소비자산의 선도가격

3.1. 저장비용(Storage Costs)

• 투자자산과는 다르게, 소비자산은 보통 물리적 형태를 가진 자산이다. 따라서 소비자산의 거래를 분석할 때는 저장비용이 필수적으로 고려되어야 한다.
• 만약 소비자산의 1단위당 발생하는 저장비용의 현재가치가 U라고 한다면 소비자산의 선도가격은

$$F_{0} = (S_{0} + U)e^{rT}$$

• 위 식을 설명하기 위해서 마찬가지로 Arbitrage의 부재를 가정할 것이다. 만약 $F_{0} > (S_{0} + U)e^{rT}$이면
  • 이자율 $r$로 $S_{0}+U$를 차입하여 소비자산을 매수하고 저장비용을 지불한다. 동시에 선도가격 $F_{0}$에 숏포지션을 잡는다. 만기에 원리금을 상환하고 선도가격을 수취하면 무위험차익이 발생한다.
• 만약 $F_{0} < (S_{0} + U)e^{rT}$이면
  • 소비자산을 공매도하고 매도대금을 이자율 $r$로 투자한다. 이때 소비자산의 보유자는 만기 시에 자산을 회수할 것이고 그동안의 저장비용 U를 절감할 수 있으므로 투자자는 저장비용 또한 대주로부터 수취하여 투자한다. 동시에 선도가격 $F_{0}$에 롱포지션을 잡는다. 만기에 원리금을 수취하고 선도가격에 현물을 매수하여 대주에게 상환하면 무위험차익이 발생한다.

 

3.2. 소비자산의 투자적 운용 가능성

• 위에서 소비자산의 선도가격이 이론가격보다 낮다면 공매도 혹은 매도에 의한 무위험차익거래가 발생할 것이라는 논리를 사용했다. 하지만 실제로 소비자산을 이런 식으로 운용하는 일은 잘 벌어지지 않는다. 왜냐하면 소비자산은 보유자가 어딘가에 사용해야 하는 자산이므로 단지 투자차익만을 위해서 매도하지 않기 때문이다.
• 따라서 소비자산의 선도가격은 아래와 같이 수정돼야 한다.

$$F_{0} \leq (S_{0} + U)e^{rT}$$

 

3.3. 소비자산의 보유편익률(Convenience Yields)

• 3.2.에서 언급했듯이 소비자산은 보유자가 어딘가에 사용함으로써 효용을 얻을 수 있기 때문에 순수한 투자자산처럼 운용되지 않는다. 이처럼 소비자산을 보유함으로써 얻을 수 있는 효용을 보유편익률이라고 한다.
• 보유편익률 $y$는 다음을 만족시키는 $y$로 정의한다. 

$$F_{0}e^{yT} = (S_{0} + U)e^{rT}$$

• 현물을 보유하지 않고도 만기에 자산을 소유할 수 있는 선도가격 $F_{0}$이 자산을 지금 당장부터 보유하기 위한 총 비용 $(S_{0} + U)e^{rT}$보다 낮아야 하는 이유를 설명하는 개념이라고 이해하면 될 것이다.

 

3.4. Carry

• 현물자산의 보유비용은 캐리(carry)라는 개념으로 설명한다. 이는 해당 자산의 성격에 따라 조금씩 다르게 측정된다.
  • 중간소득이 발생하지 않는 투자자산이라면, 캐리는 단순히 이자율 $r$
  • 배당수익률 $q$를 지급하는 주식 등의 자산이라면, 캐리는 $r-q$
  • 외환의 경우, 상대 국가의 무위험수익률이 $r_{f}$일 때 캐리는 $r-r_{f}$
  • 소비자산의 저장비용이 자산가격의 비율 $u$로 발생하는 경우라면, 캐리는 $r+u$

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4. 선물가격과 기대현물가격

• 선물가격 또는 선도가격은 만기에 현물을 매매하는 가격이다. 그렇다면 선물가격은 만기 시점의 현물가격의 기대값과는 어떤 체계적인 관계를 갖지 않을까? 여기서는 그 관계를 설명하는 이론들을 다룬다.

4.1. 헷저와 투기자

• 어떤 자산의 선물시장에서 헷저들은 숏포지션을 취하고 투기자들은 롱포지션을 취하는 경향이 있다고 하자. 이때 선물의 가격은 기대현물가격보다는 낮은 경향이 있다. 왜냐하면 투기자들은 기대현물가격이 선물가격보다 높아야만 롱포지션에 들어가는 반면, 헷저들은 선물계약을 통한 헺징 효과를 누리기 위해서 마이너스 차익이 발생하더라도 숏포지션에 들어갈 의향이 있기 때문이다. 
• 반대로 헷저들은 롱포지션을 취하고 투기자들은 숏포지션을 취하는 경향이 있다면, 선물의 가격은 기대현물가격보다 높게 되는 경향이 있다.

4.2. 시장 위험

• 어떤 투자자가 선물가격과 기대현물가격의 차이를 이용한 투기적 포지션을 취했다고 하자. 만약 이 투자자가 선물을 매수하는 포지션에 들어갔다면 포지션의 현재 가치는 아래와 같다.

$$E[S_{T}]e^{-kT} - F_{0}e^{-rT}$$

• 여기서 $k$는 투자자의 요구수익률이다. 선물을 매수하기 위한 비용은 무위험이자율로 조달할 수 있기 때문에 할인율이 $r$이다. 하지만 투자자가 기대현물가격을 할인할 때는 본인이 위험을 부담하고 거래에 참여하는 대가로 요구수익률 $k$를 사용한다.
• 만약 시장이 충분히 효율적이라면 투자자의 포지션 가치는 제로가 돼야할 것이다. 따라서 선물가격은

$$F_{0} = E[S_{T}]e^{(r-k)T}$$

 

• 투자이론에 의하면, 투자자들은 개별 증권 고유의 위험(비시장 위험, 비체계적 위험)에 대해서는 별로 신경쓰지 않는다. 어차피 합리적인 투자자라면 분산투자를 통해 비시장 위험을 모두 제거하기 때문이다.

 

• 따라서 투자자들의 요구수익률은 투자자산의 시장 위험에 의해 결정된다. 만약 투자자산이 시장의 움직임과 체계적으로 연관되지 않은 경우라면 $k=r$일 것이고 $F_{0} = E[S_{T}]$
• 만약 투자자산이 시장의 움직임과 체계적으로 양의 상관을 가진다면 $k>r$일 것이고 $F_{0} < E[S_{T}]$
• 만약 투자자산이 시장의 움직임과 체계적으로 음의 상관을 가진다면 $k<r$일 것이고 $F_{0} > E[S_{T}]$

 

4.3. 백워데이션과 콘탱고

• 마지막으로 두 가지 개념을 설명한다. 백워데이션(Normal Backwardation)이란 선물가격이 기대현물가격보다 낮은 현상을 가리킨다. 콘탱고(Contango)란 선물가격이 기대현물가격보다 높은 현상을 가리킨다.
• 왜 백워데이션은 정상적이라고 하는 걸까.. 나도 모르겠지만 아마 주로 관심 대상인 주식 시장에서는 시장의 움직임과 양의 상관을 갖는 자산들이 많기 때문에 백워데이션이 일반적이라서 그런게 아닐까 싶다.

 

• 한편 백워데이션과 콘탱고는 기대현물가격보다도 그냥 현물가격과 선물가격의 관계를 묘사하는 데도 사용한다. 즉 선물가격이 현물가격보다 낮으면 백워데이션, 선물가격이 현물가격보다 높으면 콘탱고라고 한다. 내가 느끼기에는 이 용법이 더 일반적인 듯하다.