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지난 편에서 보았듯이 동태적 패널 모형에 대해서는 임의효과 모형과 고정효과 모형이 항상 consistency를 만족하지 못한다. 따라서 동태적 패널 구조를 고려한 대안적인 추정방법이 필요하다. AH 추정: Anderson & Hsiao 동태적 회귀모형을 1계 차분하면 $$\Delta Y_{it} =\Delta \mathsf{X}_{it}\beta + \rho \Delta Y_{i,t-1}+\Delta\epsilon_{it}$$ 위 모형에서 $E(\Delta Y_{i,t-1} \Delta \epsilon_{i,t})≠0$이므로, 도구변수 방법(IV)을 고려해야 한다. 그럼 어떤 변수를 도구변수로 사용해야 할까? $\Delta Y_{i,t-1}$에 대한 도구변수는 $Y_{i,t-2}$를 사용하면 된다. 어떤..

동태적 모형 (Dynamic Model) 동태적 모형의 정의 종속변수를 설명하기 위하여, 이전 기의 종속변수들이 독립변수로 사용되는 모형을 동태적 모형이라고 한다. 일반적인 동태적 패널 회귀 모형은 다음과 같다. $$Y_{it} = \alpha + \mathsf{X}_{it}\beta + \rho Y_{i,t-1}+\mu_{i}+\epsilon_{it}$$ 항상 $\epsilon_{it}$는 시계열적으로 비상관이며, 모형의 어떤 독립변수 및 개별효과와도 비상관이다. 이는 모형이 제대로 specificate되었느냐의 문제이다. 모형의 안정성 동태적 모형에서는 모형의 안정성(Stability)이라는 개념도 고려해야 한다. $\mathsf{X}_{it}$가 $\Delta X$만큼 증가했다고 하면, $Y_{it..

하우스만 검정 (Hausman test) 랜덤효과 모형을 쓸지, 고정효과 모형을 쓸지 판별하는 방법 귀무가설: 랜덤효과 추정량과 고정효과 추정량 간 차이가 없다. 귀무가설이 참이라면, 랜덤효과 추정량을 사용한다. 귀무가설이 기각되면, 랜덤효과 추정량은 일관성을 상실하므로, 고정효과 추정량을 사용한다. 왜냐하면, 이 경우 랜덤효과 추정량은 일관성을 가지면서, 고정효과 모델보다 효율적이기 때문이다. 하우스만 검정 통계량은 다음과 같다. $$[\hat{\beta}_{RE}-\hat{\beta}_{FE}][Var(\hat{\beta}_{RE})-Var(\hat{\beta}_{FE})]^{-1}[\hat{\beta}_{RE}-\hat{\beta}_{FE}] \sim ^{A} \chi^{2}_{(k)}$$ Corr..

고정효과 모형의 가정 패널 회귀모형이 다음과 같이 주어졌다. $$Y_{i,t} = \mathsf{X}_{i,t}^{T}\beta + U_{i,t}$$ $$U_{i,t} = \mu_{i} + \epsilon_{i,t}$$ $$\epsilon_{i,t} \sim i.i.d. (0, \sigma_{\epsilon}^{2})$$ $$E(\mu_{i} \epsilon_{i,t}) = 0$$ $$E(X_{i,t}\epsilon_{i,t})=0$$ 이때, OLS 추정량이 모수를 일관적으로 추정하려면 $$E(U_{i,t}\mathsf{X}_{i,t}) = 0$$ 이 조건이 성립하기 위해서는 $$E(\mu_{i}\mathsf{X}_{i,t}) = 0$$ $$E(\epsilon_{i,t}\mathsf{X}_{i,t})=0..

임의효과 모형의 가정 패널 회귀모형이 다음과 같이 주어졌다. $$Y_{i,t} = \mathsf{X}_{i,t}^{T}\beta + U_{i,t}$$ $$U_{i,t} = \mu_{i} + \epsilon_{i,t}$$ $$\epsilon_{i,t} \sim i.i.d. (0, \sigma_{\epsilon}^{2})$$ $$E(\mu_{i} \epsilon_{i,t}) = 0$$ $$E(X_{i,t}\epsilon_{i,t})=0$$ 이때, OLS 추정량이 모수를 일관적으로 추정하려면 $$E(U_{i,t}\mathsf{X}_{i,t}) = 0$$ 이 조건이 성립하기 위해서는 $$E(\mu_{i}\mathsf{X}_{i,t}) = 0$$ $$E(\epsilon_{i,t}\mathsf{X}_{i,t})=0..

패널 데이터(Panel Data) 복수의 개체를 복수의 시점에서 관측한 데이터를 패널 데이터 횡단면 데이터(Cross-sectional): 복수의 개체를 하나의 시점에서 관측 시계열 데이터(Time-series): 하나의 개체를 복수의 시점에서 관측 패널회귀모델에서 변수는 2가지 차원의 변동이 가능하다. $$Y_{i,t} = \mathsf{X}_{i,t}^{T}\beta + U_{i,t}$$ $i$는 개체를, $t$는 시점을 나타내는 변수 반면 횡단면 혹은 시계열 데이터에서는 다음과 같은 회귀식 $$Y_{i} = \mathsf{X}_{i}^{T}\beta + U_{i}$$ Pooled OLS 패널데이터로 회귀분석을 실시하는 가장 단순한 방법은 패널의 구조를 무시하고 그냥 횡단면 데이터처럼 취급하여 OLS..

1. 가성 회귀 분석 Spurious Regression 종속변수 Y와 독립변수 X가 모두 Unit Root process인 경우를 생각하자. 이 경우에 다음과 같은 회귀모형을 상상할 수 있다. $$Y_{t} = \beta_{*} X_{t} + U_{t}$$ 그런데 $Y$와 $X$가 모두 Unit root process인 경우 $\beta_{*} = 0$이라는 귀무가설은 항상 기각된다. 즉 $X$가 실제로 $Y$에 통계적으로 유의한 영향력을 미치는지 여부와 무관하게, 항상 $X$가 유의한 독립변수로 나타난다. 이런 문제를 가성회귀 분석이라고 한다. 가짜 회귀분석이라는 뜻이다. 이런 회귀 모형을 세워서는 안 된다. 가성회귀 분석 문제에 대한 또다른 오해는 단지 $Y$와 $X$가 비정상 시계열일 때 가성회귀..

비정상 시계열의 두번째 유형은 Stochastic Time Trend이다. 시간에 대하여 일정한 추세를 가지지 않는 Random Walk 모델이다.1. Random Walk Model Random Walk Model은 다음과 같이 정의한다.$$Y_{t} = Y_{t-1} + U_{t}$$ where $$U_{t} \sim IID \; (0, \sigma_{*}^{2})$$ AR(1) model에서 $\beta$가 1인 경우와 동일하기 때문에, unit root process라고도 부른다. Random walk model을 따르는 경우, 특별히 추정해야 할 모수가 없다. 그냥 랜덤워크 모델이다. 인과검정이나 예측이 불가능한 모델이다.따라서 주요한 관심사는 주어진 process가 랜덤워크를 따르는 것이 맞는..

비정상 시계열이 가지는 일반적인 특징은 시간에 대한 추세이다. 모든 비정상 시계열이 추세를 가지는 것은 아니지만, 추세를 가지면 비정상 시계열이다. 비정상 시계열이 가지는 추세에는 두 가지 유형이 있다. 하나는 시간에 대하여 추세가 완벽히 예측가능한 Deterministic Trend와, 예측이 불가능한 Stochastic Trend이다. 이번 글에서는 Deterministic Trend가 존재하는 회귀 모델을 다룬다. 1. 모형의 가정 $$Y_{t} = \alpha_{*} + \beta_{*}t + \mathsf{Z}_{t}\gamma_{*} + U_{t}$$ where $\mathsf{Z}_{t}$는 k*1 벡터, $\{{\mathsf{Z}_{t}, U_{t}}\}$는 strictly stationa..

4. 오차항이 시계열적 상관을 가지는 경우 데이터셋이 시계열 상관을 가질 때, 오차항도 마찬가지로 시계열 상관을 갖는다고 하자. 이 경우에도 여전히 OLS 추정량은 Consistency를 만족한다. 이 시리즈에서 계속 얘기하듯이, 독립변수가 내생적이지만 않으면, OLS 추정량에는 그렇게 치명적인 문제(비일치성)는 없다. $$\hat{\beta}_{n} \rightarrow^{a.s.} \beta _{*}$$ 다만 OLS 추정량의 Asymptotic 분포를 구하기 위해서 추정량의 분산을 다르게 정의한다. $$\sqrt{n}(\hat{\beta}_{n} - \beta_{*}) \sim ^{A} N(0, E[\mathsf{X}_{t} \mathsf{X}_{t}^{T}]^{-1}BE[\mathsf{X}_{t} ..