계량경제학 #10 비정상 시계열 회귀분석 (1): Deterministic Time Trend

• 비정상 시계열이 가지는 일반적인 특징은 시간에 대한 추세이다. 모든 비정상 시계열이 추세를 가지는 것은 아니지만, 추세를 가지면 비정상 시계열이다.

 

• 비정상 시계열이 가지는 추세에는 두 가지 유형이 있다. 하나는 시간에 대하여 추세가 완벽히 예측가능한 Deterministic Trend와, 예측이 불가능한 Stochastic Trend이다.

 

• 이번 글에서는 Deterministic Trend가 존재하는 회귀 모델을 다룬다.

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1. 모형의 가정

 

$$Y_{t} = \alpha_{*} + \beta_{*}t + \mathsf{Z}_{t}\gamma_{*} + U_{t}$$

 

where

$\mathsf{Z}_{t}$는 k*1 벡터,

$\{{\mathsf{Z}_{t}, U_{t}}\}$는 strictly stationary and ergodic process,

$U_{t}$는 $\{{\mathsf{Z}_{t}, U_{t-1}, \mathsf{Z}_{t-1}, U_{t-2}, \cdots}\}$에 대하여 MDS

 

$Y_{t}$는 시간 t에 대하여 선형적으로 증감하므로 비정상 시계열이다.

 

 

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2. OLS 추정량의 성질

 

(1) Consistency

 

$$\hat{\beta}_{n} \rightarrow_{p} \beta_{*}$$

 

(2) Asymptotic Normality

 

$$\mathsf{D}_{n} (\hat{\beta}_{n} - \beta_{*}) \sim _{A} N(0, \mathsf{A}^{-1}\mathsf{B}\mathsf{A}^{-1})$$

 

where

 

$\mathsf{D}_{n}\;_{((k+2)\times (k+2))} =$

$$\begin{bmatrix} \sqrt{n}\mathsf{I}_{k+1} \;\;0 \\ 0 \;\;\;\;n^{3/2} \end{bmatrix}$$

 

$\mathsf{A}\;_{((k+2)\times (k+2))} =$

$$\begin{bmatrix} 1 \;\;\;\;E[\mathsf{Z}_{t}^{T}] \;\;\;\; \frac{1}{2} \\ E[\mathsf{Z}_{t}] \; E[\mathsf{Z}_{t}\mathsf{Z}_{t}^{T}] \;E[\mathsf{Z}_{t}] \\ \frac{1}{2} \;\;\;\; \frac{1}{2}E[\mathsf{Z}_{t}^{T}] \;\;\;\; \frac{1}{3} \end{bmatrix}$$

 

$\mathsf{B}\;_{((k+2)\times (k+2))} =$

$$\begin{bmatrix} \sigma_{*}^{2} \;\;\;\;E[U_{t}^{2}\mathsf{Z}_{t}^{T}] \;\;\;\; \frac{1}{2}\sigma_{*}^{2} \\ E[U_{t}^{2}\mathsf{Z}_{t}] \; E[U_{t}^{2}\mathsf{Z}_{t}\mathsf{Z}_{t}^{T}] \;E[U_{t}^{2}\mathsf{Z}_{t}] \\ \frac{1}{2}\sigma_{*}^{2} \;\;\;\; \frac{1}{2}E[U_{t}^{2}\mathsf{Z}_{t}^{T}] \;\;\;\; \frac{1}{3}\sigma_{*}^{2} \end{bmatrix}$$

 

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3. OLS 추정량을 사용한 가설 검정

 

• Asymptotic Normality를 활용하여, t-test를 할 수 있다.

 

• 귀무가설 $\beta_{*} = 0$ 하에서,

$$t_{n} = \frac{n^{3/2}\hat{\beta}_{n}}{\sqrt{\hat{\mathsf{C}}_{n}}} \sim _{A} N(0,1)$$

 

where

$\hat{\mathsf{C}}_{n} = \hat{\mathsf{A}}_{n}^{-1}\hat{\mathsf{B}}_{n}\hat{\mathsf{A}}_{n}^{-1}$