계량경제학 #10 비정상 시계열 회귀분석 (1): Deterministic Time Trend

• 비정상 시계열이 가지는 일반적인 특징은 시간에 대한 추세이다. 모든 비정상 시계열이 추세를 가지는 것은 아니지만, 추세를 가지면 비정상 시계열이다.

 

• 비정상 시계열이 가지는 추세에는 두 가지 유형이 있다. 하나는 시간에 대하여 추세가 완벽히 예측가능한 Deterministic Trend와, 예측이 불가능한 Stochastic Trend이다.

 

• 이번 글에서는 Deterministic Trend가 존재하는 회귀 모델을 다룬다.

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1. 모형의 가정

 

$$Y_t={\alpha }_{\ast }+{\beta }_{\ast }t+{\mathsf{Z}}_t{\gamma }_{\ast }+U_t$$

 

where

$\mathsf{Z}_{t}$는 k*1 벡터,

$\{{\mathsf{Z}_{t}, U_{t}}\}$는 strictly stationary and ergodic process,

$U_{t}$는 $\{{\mathsf{Z}_{t}, U_{t-1}, \mathsf{Z}_{t-1}, U_{t-2}, \cdots}\}$에 대하여 MDS

 

$Y_{t}$는 시간 t에 대하여 선형적으로 증감하므로 비정상 시계열이다.

 

 

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2. OLS 추정량의 성질

 

(1) Consistency

 

$${\hat{\beta }}_n{\to }_p{\beta }_{\ast }$$

 

(2) Asymptotic Normality

 

$${\mathsf{D}}_n({\hat{\beta }}_n-{\beta }_{\ast }){\sim }_{A}N(0,{\mathsf{A}}^{-1}\mathsf{B}{\mathsf{A}}^{-1})$$

 

where

 

$\mathsf{D}_{n}\;_{((k+2)\times (k+2))} =$

$$\left[\begin{array}{c}\sqrt{n}{\mathsf{I}}_{k+1}0\\ 0n^{3/2}\end{array}\right]$$

 

$\mathsf{A}\;_{((k+2)\times (k+2))} =$

$$\left[\begin{array}{c}1E[{\mathsf{Z}}_t^T]\frac{1}{2}\\ E[{\mathsf{Z}}_t]E[{\mathsf{Z}}_t{\mathsf{Z}}_t^T]E[{\mathsf{Z}}_t]\\ \frac{1}{2}\frac{1}{2}E[{\mathsf{Z}}_t^T]\frac{1}{3}\end{array}\right]$$

 

$\mathsf{B}\;_{((k+2)\times (k+2))} =$

$$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{\ast }^{2}E[U_t^2{\mathsf{Z}}_t^T]\frac{1}{2}{\sigma }_{\ast }^2\\ E[U_t^2{\mathsf{Z}}_t]E[U_t^2{\mathsf{Z}}_t{\mathsf{Z}}_t^T]E[U_t^2{\mathsf{Z}}_t]\\ \frac{1}{2}{\sigma }_{\ast }^2\frac{1}{2}E[U_t^2{\mathsf{Z}}_t^T]\frac{1}{3}{\sigma }_{\ast }^2\end{array}\right]$$

 

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3. OLS 추정량을 사용한 가설 검정

 

• Asymptotic Normality를 활용하여, t-test를 할 수 있다.

 

• 귀무가설 $\beta_{*} = 0$ 하에서,

$$t_n=\frac{n^{3/2}{\hat{\beta }}_n}{\sqrt{{\hat{\mathsf{C}}}_n}}{\sim }_{A}N(0,1)$$

 

where

$\hat{\mathsf{C}}_{n} = \hat{\mathsf{A}}_{n}^{-1}\hat{\mathsf{B}}_{n}\hat{\mathsf{A}}_{n}^{-1}$