파생상품 가치평가 방법론 #3 주요 방법론 개요

 

이 시리즈는 파생상품 이론 분야에서 가장 유명한 교재인 Hull(2021)의 "Options, Futures and Other Derivatives (11th)"을 요약한 것일 뿐이다. 아래는 책 구매 링크

Options, Futures, and Other Derivatives

이전 편 링크: 위험중립적 가치평가

파생상품 가치평가 방법론 #2 위험중립적 가치평가 (Risk-Neutral Valuation)

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Risk-Neutral Valuation 방법을 활용하여 파생상품의 가치를 평가하는 3가지 주요 수치적(numerical) 방법에 대해 논의한다. 방법마다의 상세한 설명은 이후 포스팅으로 미룬다.

 

1. Binomial Tree method

Binomial Tree 방법은 만기까지 기초자산의 path를 tree처럼 펼쳐나가는 방법이다. 

 

초기의 기초자산 상태를 root node로 하고, 각 node에서는 기초자산 가격이 일정한 율로 증가하거나 감소하여 기초자산의 가능한 상태들을 펼쳐나간다.

 

기초자산 가격의 path를 binomial tree로 나타낸 예시

 

기초자산의 path-tree를 완성한 후에 만기 시점에서의 각 노드에서의 payoff를 구하며, 이는 각 노드에서의 파생상품 가치가 된다.

만기 직전 노드에서는 만기 노드에서의 payoff들에 대한 RNV로 가치를 평가하며, 그 직전 노드에서도 마찬가지로 RNV 방법으로 가치를 평가한다. 이렇게 backwardation 방법으로 초기 상태까지 각 노드에서의 파생상품 가격을 구해나가는 방법이다.

 

Binomial tree 방법은 American option과 같이 롱포지셔너가 만기 이전에 어떤 권리를 가지는 경우를 모델링할 때 적합하다.

 

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2. Finite Difference method

Finite difference method(유한차분법)는 파생상품의 가격이 만족해야 할 미분방정식의 해를 수치적으로 구하는 테크닉이다.

 

대부분의 파생상품들은 가격이 충족해야 할 미분방정식을 구할 수는 있지만, 그 해를 푸는 방법이 아직 알려져 있지 않다. 미분방정식 자체는 그대로 두되, 미분방정식의 해를 풀 때 수치적인 근사치를 제시하려는 방법이 유한차분법이다.

 

예컨대, 유로피안 콜옵션의 가격이 C일 때, C가 만족해야 할 미분방정식은 다음과 같다.

$$rC = \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}S^2{\sigma}^2\frac{\partial^2 C}{\partial t^2} + rS\frac{\partial C}{\partial S}$$

이 미분방정식은 블랙-숄즈 미분방정식으로, 이미 그 해석적 해가 구해져있다. 그 해가 바로 블랙-숄즈-머튼의 옵션 가격 결정 모형이다.

 

다른 많은 파생상품들도 이런 식으로 미분방정식을 세울 수는 있지만 아직 해가 알려져있지 않다. 이때 수치적인 방법으로 접근하는 것이 유한차분법이다.

 

우선 시간 t와 기초자산 가격 S에 대하여 일정한 간격을 가지고 2차원 격자 평면을 구성한다.

 

격자 평면의 각 point에서 파생상품의 가격을 찍고, 이로부터 편미분계수들의 근사치를 추정하여 편미분방정식의 항(term)들을 채워넣는다. 편미분방정식을 우리가 해결할 수 있는 연립방정식으로 만들어 풀어나가는 방법이다.

 

유한차분법도 Binomial tree와 유사한 장점이 있다. 즉 만기 이전 롱포지셔너가 어떤 권리를 가지는 아메리칸 스타일 옵션을 모델링하는 데 적합하다.

 

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3. Monte Carlo Simulation method

몬테카를로 시뮬레이션 방법은, 이름은 거창한데 그냥 시뮬레이션 방법이다. '몬테카를로'라는 명칭이 뭐 특별한 것을 의미하는 것은 아니니까 겁먹을 필요가 없다.

 

몬테카를로 시뮬레이션 방법은 기초자산 가격의 확률과정을 risk-neutral하게 모델링한 후, 셋팅한 확률과정을 만족하는 시뮬레이션을 충분히 많이 생성하는 방법이다. 그 후 시뮬레이션 결과로 얻어진 파생상품의 payoff들을 무위험이자율로 현재가치화하고, 기대값을 취한다.

 

주가의 시뮬레이션 예시. 각각의 그래프들이 하나의 path

 

몬테카를로 시뮬레이션 방법은 payoff가 단지 만기 기초자산 상태뿐 아니라, path 자체에 의존하는 경우(Asian option 등)를 모델링하기에 적합하다. 또한 다양한 확률과정에 대하여 응용하기에 편리해서 실무적으로 자주 사용되는 방법이다.