Black-Scholes-Merton Model #2: 옵션 가격의 해석적 해(Analytic Solution)

 

 

1편: 파생상품 가격 이론의 의의

Black-Scholes-Merton Model #1: 파생상품 가격 이론의 의의

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2. BS 미분방정식 

BSM 모델이 유도되는 과정을 큰 줄거리로 살펴보도록 하자.

 

2.1. 기초자산 가격의 랜덤워크

• 주가의 변화분 $dS_{t}$가 시간 t에 대하여 다음과 같은 확률과정을 따른다고 가정한다. 이때는 주가 자체는 기하적 브라운 운동(Geometric Brownian Motion)을 따른다고 말한다. $dt$는 시간에 따른 확정적 추세, $dW(t)$는 정규분포를 따르는 확률분포로 주가 움직임의 확률적인 요소를 나타낸다.

$$dS_{t} = S{\mu}dt + S{\sigma}dW(t)$$

where $dW(t)$ ~ $Normal(0, t)$

 

2.2. 이토의 보조정리(Ito's Lemma)

• 이토의 보조정리: 브라운 운동을 따르는 어떤 확률변수 $X$에 대하여 그 확률변수의 함수 $f(X)$의 확률과정을 유도

X가 다음의 브라운 운동을 따를 때,

$$dX = {\mu}(S,t)dt + {\sigma}(S,t)dW(t)$$

두 번 미분 가능한 함수 f에 대하여 다음이 성립한다.

$$df(S,t) = [\frac{\partial f}{\partial t} + {\mu}(S,t)\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}{\sigma}^2(S,t)\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}]dt + {\sigma}(S,t)\frac{\partial f}{\partial S}dW(t)$$

 

• 콜옵션의 가치 C는 주가 S와 시간 t의 함수로 볼 수 있으므로, 이토의 보조정리를 주가의 기하적 브라운 운동에 적용하면 다음의 편미분 방정식을 얻는다.

$$dC = [\frac{\partial C}{\partial t} + S{\mu}\frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2}S^2{\sigma}^2]dt + S{\sigma}\frac{\partial C}{\partial S}dW(t)$$

 

2.3. 무위험 차익거래(Arbitrage)의 부재

• 콜옵션 1개를 매입하고 주식 $\Delta$개를 매도하여 구성한 포트폴리오의 가치 $\Pi$는 다음과 같다.

$$\Pi = C - {\Delta}S$$

• 포트폴리오의 가치의 변화는, 콜옵션 가격의 편미분 방정식으로부터 다음과 같이 유도된다.

$$d\Pi = dC - {\Delta}dS$$

$$= [\frac{\partial C}{\partial t} + S{\mu}\frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2}S^2{\sigma}^2\frac{\partial^2 C}{\partial t^2} - {\Delta}S{\mu}]dt + S{\sigma}[\frac{\partial C}{\partial S}-{\Delta}]dW(t)$$

• 이 포트폴리오를 무위험 포트폴리오로 만드는 방안을 생각해보자. 주식의 매도 포지션 $\Delta = \frac{\partial C}{\partial S}$이면 

$$d\Pi = [\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}S^2{\sigma}^2\frac{\partial^2 C}{\partial t^2}]dt$$

• 포트폴리오 가치 변화로부터 확률적 추세를 나타내는 $dW(t)$가 소거되었다. 이는 포트폴리오 가치가 확정적인 추세를 가지고 변화한다는 것을 나타낸다. 즉, $\Delta$만큼의 주식을 매도하여 포트폴리오는 무위험 포트폴리오가 되었다. 이를 만족하는 주식의 포지션을 헷징 델타(Hedging Delta)라고 부른다.

 

• 만약 포트폴리오가 무위험 포트폴리오라면, 포트폴리오에 투자된 자본을 무위험 채권에 투자하였을 때 동일한 수익률을 거두게 되어야 한다. 두 자산이 모두 위험이 제로인데도 어느 한 자산이 더 높은 수익률을 제공한다면 더 높은 수익률을 제공하는 자산으로 수요가 몰려 가격이 오르고, 이 과정은 양 자산의 수익률이 동일해질 때까지 지속될 것이다. 무위험 이자율을 $r$이라고 하면,

$$d\Pi = r{\Pi}dt$$

$$[\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}S^2{\sigma}^2\frac{\partial^2 C}{\partial t^2}]dt = r{\Pi}dt$$

$$\therefore rC = \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}S^2{\sigma}^2\frac{\partial^2 C}{\partial t^2} + rS\frac{\partial C}{\partial S}$$

 

이 마지막 식이 그 유명한 블랙-숄즈 편미분 방정식(Black-Scholes PDE)이다. 이 편미분 방정식의 해석적 해가 바로 옵션 가격에 대한 블랙-숄즈-머튼 모형이다.

 

3. BSM 모형

블랙과 숄즈 선생님이 이 편미분 방정식의 해를 어떻게 유도할까를 고민하던 중에 대학원생으로 있던 머튼 선생님이 지나가다 이 광경을 보셨다고 한다. 어쩌다 그런 생각을 했는지는 모르겠으나 머튼 선생님이 보시기에는 이게 물리학에서 자주 쓰이는 열 확산 방정식(Heat Equation)과 동일한 구조를 갖고 있었단다. 수식이 너무 길어져서 레이텍으로는 다 적기는 힘들고 해를 유도하는 몇 가지 테크닉만 중심으로 보자(댓글 남겨주시면 손으로 적은 노트를 보내드릴 수는 있습니다).

 

• 기본적인 접근은 다음과 같다. 변수 변환을 통해 블랙숄즈 편미분 방정식을 열 확산 방정식으로 변환한다. 열 확산 방정식의 해석적 해는 물리학자들이 잘 구해놓았으므로, 이를 통해 변환된 방정식의 해를 구한다. 그리고 이를 다시 블랙숄즈 편미분 방정식의 해로 바꾸어놓기 위해 변수 변환의 과정을 역으로 따라가면 된다.

 

• 문제 정의) 주어진 편미분 방정식과, 방정식이 만족해야 할 경계조건은 다음과 같다.

$$rC = \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}S^2{\sigma}^2\frac{\partial^2 C}{\partial t^2} + rS\frac{\partial C}{\partial S}$$

Boundary Conditions are

$$C(t,0) = 0$$

and

$$C(T,S) = max(S-K, 0)$$

• 변수 변환 1) $S = Ke^X$를 만족하는 $X$와 $t = T - \frac{\tau}{\frac{1}{2}\sigma^2}$를 만족하는 $\tau$가 존재한다. 그리고 $C(t,S) = KV(\tau,X)$인 $V(\tau,X)$를 정의하면, 콜옵션 가치 C에 대한 편미분 방정식을 V에 대한 편미분 방정식으로 변환할 수 있다. 그럼 이렇게 된다.

$$\frac{\partial V}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 V}{\partial X^2} + (K-1)\frac{\partial V}{\partial X} - KV$$

Boundary Condition is

$$C(T,S) = Kmax(e^{X}-1,0)$$

 

• 변수 변환 2) $V(\tau,X) = e^{{\alpha}X+{\beta}{\tau}}U({\tau},X)$를 만족하는 $U({\tau},X)$가 존재한다. V에 대한 편미분 방정식을 U에 대한 편미분 방정식으로 변환하면, 열 확산 방정식이 된다.

$$\frac{\partial U}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 U}{\partial X^2}$$

Boundary Condition is

$$U(0,X) = max(e^{\frac{1}{2}(K+1)X}-e^{\frac{1}{2}(K-1)X},0)$$

• 열 확산 방정식의 해석적 해를 대입하면

$$U(\tau,X) = \frac{1}{\sqrt{4\pi\tau}}\int^{\infty}_{-\infty}{U(0,X)e^{-\frac{(X-Y)^2}{4\tau}}}dY$$

• 앞선 변수 변환 과정을 다시 역으로 따라가면 블랙-숄즈 PDE의 해로 바꿀 수 있다.

$$C(t,S) = SN(d1) - Ke^{-r(T-t)}N(d2)$$

where

N: CDF of Standard Normal distribution,

$$d1 = \frac{ln(\frac{S}{K})+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$

and

$$d1 = \frac{ln(\frac{S}{K})+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$

 

아고 힘들다.. 이게 바로 노벨경제학상을 받은 블랙-숄즈-머튼의 콜옵션 가격 결정 모형이다. 물론 이것이 완벽한 모형은 아니다. 가령 주가의 확률과정이 기하적 브라운 운동이라는 가정이라든가 거래비용이 존재하지 않는다는 가정이 통상 문제가 된다. 3편에서 모형에 대한 실증 분석을 소개한다.

 

 

<Reference>

Hull, J. C. (2015) "Options, Futures, and Other Derivatives" (9th Edtion)

Ahn, Kwangwon (Department of Industrial Engineering, Yonsei Univ), Lecture Note for Stochastic Finance (Fall, 2022)