1편: 파생상품 가격 이론의 의의
Black-Scholes-Merton Model #1: 파생상품 가격 이론의 의의
1. 옵션의 정의 옵션의 정의를 짚고 넘어가자. 옵션이란 기초가 되는 자산(기초자산)을 사전에 약정된 가격(행사가격)으로 매수하거나 매도할 수 있는 권리를 말한다. 1.1. 옵션의 손익 구조 콜옵
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2. BS 미분방정식
BSM 모델이 유도되는 과정을 큰 줄거리로 살펴보도록 하자.
2.1. 기초자산 가격의 랜덤워크
- 주가의 변화분 dSt가 시간 t에 대하여 다음과 같은 확률과정을 따른다고 가정한다. 이때는 주가 자체는 기하적 브라운 운동(Geometric Brownian Motion)을 따른다고 말한다. dt는 시간에 따른 확정적 추세, dW(t)는 정규분포를 따르는 확률분포로 주가 움직임의 확률적인 요소를 나타낸다.
where dW(t) ~ Normal(0,t)
2.2. 이토의 보조정리(Ito's Lemma)
- 이토의 보조정리: 브라운 운동을 따르는 어떤 확률변수 X에 대하여 그 확률변수의 함수 f(X)의 확률과정을 유도
X가 다음의 브라운 운동을 따를 때,
두 번 미분 가능한 함수 f에 대하여 다음이 성립한다.
- 콜옵션의 가치 C는 주가 S와 시간 t의 함수로 볼 수 있으므로, 이토의 보조정리를 주가의 기하적 브라운 운동에 적용하면 다음의 편미분 방정식을 얻는다.
2.3. 무위험 차익거래(Arbitrage)의 부재
- 콜옵션 1개를 매입하고 주식 Δ개를 매도하여 구성한 포트폴리오의 가치 Π는 다음과 같다.
- 포트폴리오의 가치의 변화는, 콜옵션 가격의 편미분 방정식으로부터 다음과 같이 유도된다.
- 이 포트폴리오를 무위험 포트폴리오로 만드는 방안을 생각해보자. 주식의 매도 포지션 Δ=∂C∂S이면
- 포트폴리오 가치 변화로부터 확률적 추세를 나타내는 dW(t)가 소거되었다. 이는 포트폴리오 가치가 확정적인 추세를 가지고 변화한다는 것을 나타낸다. 즉, Δ만큼의 주식을 매도하여 포트폴리오는 무위험 포트폴리오가 되었다. 이를 만족하는 주식의 포지션을 헷징 델타(Hedging Delta)라고 부른다.
- 만약 포트폴리오가 무위험 포트폴리오라면, 포트폴리오에 투자된 자본을 무위험 채권에 투자하였을 때 동일한 수익률을 거두게 되어야 한다. 두 자산이 모두 위험이 제로인데도 어느 한 자산이 더 높은 수익률을 제공한다면 더 높은 수익률을 제공하는 자산으로 수요가 몰려 가격이 오르고, 이 과정은 양 자산의 수익률이 동일해질 때까지 지속될 것이다. 무위험 이자율을 r이라고 하면,
이 마지막 식이 그 유명한 블랙-숄즈 편미분 방정식(Black-Scholes PDE)이다. 이 편미분 방정식의 해석적 해가 바로 옵션 가격에 대한 블랙-숄즈-머튼 모형이다.
3. BSM 모형
블랙과 숄즈 선생님이 이 편미분 방정식의 해를 어떻게 유도할까를 고민하던 중에 대학원생으로 있던 머튼 선생님이 지나가다 이 광경을 보셨다고 한다. 어쩌다 그런 생각을 했는지는 모르겠으나 머튼 선생님이 보시기에는 이게 물리학에서 자주 쓰이는 열 확산 방정식(Heat Equation)과 동일한 구조를 갖고 있었단다. 수식이 너무 길어져서 레이텍으로는 다 적기는 힘들고 해를 유도하는 몇 가지 테크닉만 중심으로 보자(댓글 남겨주시면 손으로 적은 노트를 보내드릴 수는 있습니다).
- 기본적인 접근은 다음과 같다. 변수 변환을 통해 블랙숄즈 편미분 방정식을 열 확산 방정식으로 변환한다. 열 확산 방정식의 해석적 해는 물리학자들이 잘 구해놓았으므로, 이를 통해 변환된 방정식의 해를 구한다. 그리고 이를 다시 블랙숄즈 편미분 방정식의 해로 바꾸어놓기 위해 변수 변환의 과정을 역으로 따라가면 된다.
- 문제 정의) 주어진 편미분 방정식과, 방정식이 만족해야 할 경계조건은 다음과 같다.
Boundary Conditions are
and
- 변수 변환 1) S=KeX를 만족하는 X와 t=T−τ12σ2를 만족하는 τ가 존재한다. 그리고 C(t,S)=KV(τ,X)인 V(τ,X)를 정의하면, 콜옵션 가치 C에 대한 편미분 방정식을 V에 대한 편미분 방정식으로 변환할 수 있다. 그럼 이렇게 된다.
Boundary Condition is
- 변수 변환 2) V(τ,X)=eαX+βτU(τ,X)를 만족하는 U(τ,X)가 존재한다. V에 대한 편미분 방정식을 U에 대한 편미분 방정식으로 변환하면, 열 확산 방정식이 된다.
Boundary Condition is
- 열 확산 방정식의 해석적 해를 대입하면
- 앞선 변수 변환 과정을 다시 역으로 따라가면 블랙-숄즈 PDE의 해로 바꿀 수 있다.
where
N: CDF of Standard Normal distribution,
and
아고 힘들다.. 이게 바로 노벨경제학상을 받은 블랙-숄즈-머튼의 콜옵션 가격 결정 모형이다. 물론 이것이 완벽한 모형은 아니다. 가령 주가의 확률과정이 기하적 브라운 운동이라는 가정이라든가 거래비용이 존재하지 않는다는 가정이 통상 문제가 된다. 3편에서 모형에 대한 실증 분석을 소개한다.
<Reference>
Hull, J. C. (2015) "Options, Futures, and Other Derivatives" (9th Edtion)
Ahn, Kwangwon (Department of Industrial Engineering, Yonsei Univ), Lecture Note for Stochastic Finance (Fall, 2022)
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