신용리스크 측정 방법론 - K-function 뚫어버리기 (1)

 

이 시리즈는 바젤 협약에 따라 신용리스크를 측정하는 일반적인 프로세스에 대해 알아본다. 내부등급법의 체계가 처음 만들어진 바젤2를 중점으로 하여 신용리스크 측정 프로세스의 개념적, 개괄적 측면에 맞춰 서술한다. 규정 재개정에 따라 업데이트가 이루어지고 있는 구체적인 측정치나 모델에 대한 언급은 최대한 피한다.
 
References 
금융감독원, 바젤2 하의 통합리스크관리 모범규준 제1권 신용리스크
금융감독원, 알기 쉬운 신BIS 제1편 신용리스크

은행업감독업무시행세칙

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미예상손실은 부도 시 익스포저 EAD에 K-function의 값을 곱하여 산출한다고 했다. 즉, K-function의 값이 미예상손실율을 의미한다는 것인데, 이 K-function이라는 것은 어떻게 유도되었길래 그런지 알아보자.

 

1. K-function의 구조

은행업감독업무시행세칙 별표 3에서 notation만 살짝 바꿔서 복붙하자면 K함수는 이렇게 생겼다.

 

$$K = LGD*[\Phi(\frac{1}{\sqrt{1-R}}\Phi^{-1}(PD) + \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{1-R}}\Phi^{-1}(0.999))-PD]*\frac{1+(M-2.5)b}{1-1.5b}$$

$PD$: 부도율, $LGD$: 부도 시 손실율, $M$: 유효만기,

$b$: 유효만기 조정 파라미터, $R$: 서로 다른 익스포저 간의 부도 상관계수

$\Phi(\cdot)$: 표준정규분포의 누적확률밀도함수

 

여기서, 다음과 같이 식을 변형하면 구조를 보기가 쉽다.

 

$$K = [LGD*\Phi(\frac{1}{\sqrt{1-R}}\Phi^{-1}(PD) + \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{1-R}}\Phi^{-1}(0.999)) - LGD*PD]*\frac{1+(M-2.5)b}{1-1.5b}$$

$$ = [LGD*PD_{crisis} - LGD*PD] * MA$$

$$ = [EL_{crisis} - EL_{normal}]*MA$$

$PD_{crisis} = \Phi(\frac{1}{\sqrt{1-R}}\Phi^{-1}(PD) + \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{1-R}}\Phi^{-1}(0.999))$

$EL_{crisis} = LGD*PD_{crisis}$

$EL_{normal} = LGD*PD$

$MA = \frac{1+(M-2.5)b}{1-1.5b}$

 

마지막 MA는 만기조정 값으로, 1년 기준으로 산출된 K값을 보정하기 위함이다. 익스포저의 잔존 유효만기 M이 길수록, 부도 관측 기간이 길어지고, 그러면 그 기간 중 부도가 발생할 가능성도 높아지므로 MA가 커져서, K도 커진다. 

다소 부수적인 역할을 하는 MA를 제외하고, 본질적인 부분만 강조한다면

 

$$K = [EL_{crisis} - EL_{normal}]$$

 

즉, K함수는 극단적인 손실율 $EL_{crisis}$에서 통상적인 상황에서의 예상손실율 $EL_{normal}$ 을 뺀 값이다. 즉, K함수는 극단적인 손실율과 (통상적인) 예상손실율의 차이 = 미예상손실율을 구하는 함수이다.

 

통상적인 예상손실율 $EL_{normal}$은 이전 게시물에서 충분히 다루었으므로, 이 글에서 설명이 필요한 부분은 극단적인 손실율 $EL_{crisis}$뿐이다. 

2. 극단적인 손실의 모델링

1) 신용리스크에서 '극단적인 손실'의 의미

극단적인 손실율 $EL_{crisis}$는 아래와 같다.

 

$EL_{crisis} = LGD*PD_{crisis}$

$PD_{crisis} =\Phi(\frac{1}{\sqrt{1-R}}\Phi^{-1}(PD) + \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{1-R}}\Phi^{-1}(0.999))$

 

여기서 $PD_{crisis}$를 '위기 상황에서의 부도율'이라고 보면, 우리가 모델링한 극단적인 손실율이란, 위기 상황에서의 부도율 * 부도시 손실율 = '위기 상황에서의 예상손실율'을 의미한다.

 

왜 극단적인 손실이, 위기 상황에서의 예상손실일까? 이것은 신용리스크의 이진적인 특성과 관련이 있다.

 

시장리스크에서는 손실이 연속적인 개념이다. 주가가 떨어지면 떨어질수록 손실이 비례적으로, 이론적으로는 무한하게 커진다. 하지만 신용리스크에서는 거래상대방이 채무를 이행하거나, 불이행하거나 둘 중 하나다. 손실의 규모는 0이거나 익스포저 금액만큼이거나 둘 중 하나다.

 

따라서 신용리스크에서 극단적인 손실이란, 부도 확률이 매우 높아진 상황에서의 예상손실을 의미할 뿐이다. 부도 발생 시의 손실 규모 LGD가 증가하는 것이 아니라, 부도 확률 PD이 증가하여 예상손실이 증가하는 것으로 극단적인 손실이 개념화된다.

 

2) 위기 상황에서의 부도율

그럼 LGD도 이미 우리가 알고 있는 개념이니까, 설명해야 할 것은 위기 상황에서의 부도율 $PD_{crisis}$뿐이다.

(1) 부도 잠재변수

바젤이 신용리스크 모델링을 위해 택하고 있는 Vasicek 모형은 부도 사건을 부도 잠재변수의 확률과정으로 모델링한다. 이 부도 잠재변수라는 녀석은 그냥 부도 모델링을 위해 가정되는 개념일 뿐이다. 현실 세계의 무엇과 대응되는 개념이 아니라, 순수하게 모델링을 위한 도구적 개념이다. 굳이 현실 세계와 대응시킨다면 거래상대방의 재무 상태, 신용 점수 등 신용리스크를 발생시키는 원천들의 집약체라고 보면 된다. 이 '잠재변수'의 값이 작아지면 작아질수록 부도가 발생할 확률이 높아진다는 식으로 모델링되어 있다.

 

잠재변수 $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.

$$Z \sim N(0,1)$$

(2) 부도가 발생할 조건

잠재변수 $Z$가 어떤 임계점 $\alpha$보다 낮아지면 부도가 발생한다고 하자. 그럼 이 $\alpha$는 구체적으로 어떤 값이어야 할까? 우리는 이미 익스포저의 부도율 PD를 추정해놓았다. 따라서 우리 익스포저가 부도날 확률은 PD이다. 이 조건을 만족하는 값이 $\alpha$이다.

 

$$P(Z <= \alpha) = PD$$

$$\Phi(\alpha) = PD$$

$$\therefore \alpha = \Phi^{-1}(PD)$$

 

 

너무 기니까 다음 글에서 계속...

신용리스크 측정 방법론 - K-function 뚫어버리기 (2)