신용리스크 측정 방법론 - K-function 뚫어버리기 (2)

이 시리즈는 바젤 협약에 따라 신용리스크를 측정하는 일반적인 프로세스에 대해 알아본다. 내부등급법의 체계가 처음 만들어진 바젤2를 중점으로 하여 신용리스크 측정 프로세스의 개념적, 개괄적 측면에 맞춰 서술한다. 규정 재개정에 따라 업데이트가 이루어지고 있는 구체적인 측정치나 모델에 대한 언급은 최대한 피한다.
 
References 
금융감독원, 바젤2 하의 통합리스크관리 모범규준 제1권 신용리스크
금융감독원, 알기 쉬운 신BIS 제1편 신용리스크

은행업감독업무시행세칙

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미예상손실은 부도 시 익스포저 EAD에 K-function의 값을 곱하여 산출한다고 했다. 즉, K-function의 값이 미예상손실율을 의미한다는 것인데, 이 K-function이라는 것은 어떻게 유도되었길래 그런지 알아보자.

 

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신용리스크 측정 방법론 - K-function 뚫어버리기 (1)

 

2. 극단적인 손실의 모델링

2) 위기 상황에서의 부도율

(3) 시스템 리스크의 모델링

부도 잠재변수 $Z$는 익스포저의 고유한 리스크과 시스템적 리스크의 두 가지 구성요소를 갖는다고 하자. 시스템적 리스크라고 하는 것은 위기 상황이 발생했을 때, 서로 다른 두 익스포저가 동시에 부도 나도록 하는 리스크를 말한다. 즉 서로 다른 두 익스포저의 부도 잠재변수가 양의 상관계수를 갖도록 하는 것이 모델링의 핵심이다.

 

상관계수가 R이라고 하자. 그러면 익스포저 i의 잠재변수 $Z_{i}$를 다음과 같이 두면 된다.

$$Z_{i} = \sqrt{R}Y + \sqrt{1-R}\epsilon_{i}$$

$Y$: 시스템적 리스크, $\epsilon_{i}$: 익스포저 i의 고유한 리스크

$Y, \epsilon_{i} \sim i.i.d.N(0,1)$

 

이는 두 가지 요구사항을 만족하는 모델링이다. 

먼저, 부도 잠재변수 $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수라고 앞에서 정의했다. 시스템적 리스크 항이 포함된 후에도 이 성질을 만족한다.

$$E[Z_{i}] = E[\sqrt{R}Y] + E[\sqrt{1-R}\epsilon_{i}] = 0 + 0 = 0$$

$$Var[Z_{i}] = Var(\sqrt{R}Y) + Var(\sqrt{1-R}\epsilon_{i}) + 2Cov(Y,\epsilon_{i}) = R + (1-R) + 0 = 1$$

 

또한, 서로 다른 두 익스포저의 부도 잠재변수 간 상관계수가 R이다.

서로 다른 두 익스포저는 고유 리스크 항은 서로 독립적이지만, 동일한 시스템 리스크 항을 갖는다. 즉,

$$Z_{i} = \sqrt{R}Y + \sqrt{1-R}\epsilon_{i}$$

$$Z_{j} = \sqrt{R}Y + \sqrt{1-R}\epsilon_{j}$$

$$\epsilon_{i},\epsilon_{j} \sim i.i.d.N(0,1)$$

 

그러면 두 잠재변수 간 상관계수는 R이 된다.

 

$$Cov(Z_{i}, Z_{j}) = Cov(\sqrt{R}Y + \sqrt{1-R}\epsilon_{i}, \sqrt{R}Y + \sqrt{1-R}\epsilon_{j}$$

$$ = Cov(\sqrt{R}Y, \sqrt{R}Y) + Cov(\sqrt{R}Y, \sqrt{1-R}\epsilon_{i}) Cov(\sqrt{R}Y,\sqrt{1-R}\epsilon_{j}) + Cov(\sqrt{1-R}\epsilon_{i} ,\sqrt{1-R}\epsilon_{j})$$

$$ = RVar(Y) + 0 + 0 + 0 = R$$

$$\therefore corr(Z_{i}, Z_{j}) = \frac{Cov(Z_{i}, Z_{j})}{\sqrt{Var(Z_{i}),Var(Z_{j})}} = Cov(Z_{i}, Z_{j})= R$$

 

(4) 위기 상황에서의 부도율

이제 준비는 다 됐다. 위기 상황에서의 부도율을 계산해보자. 위기 상황에서의 부도율이란, 시스템 리스크 변수 $Y$가 충분히 극단적인 값을 가진다는 조건이 주어졌을 때의 조건부 부도율이라고 보면 된다.

 

일단 시스템 리스크 변수의 '극단적인' 값은 발생확률이 0.1% 이하가 되도록 하는 아주 작은 임계값 $\beta$라고 하자.

$$P(Y <= \beta) = 0.001$$

$$\Phi(\beta) = 0.001$$

$$\beta = \Phi^{-1}(0.001)$$

 

위기가 발생했을 때, 즉 $Y = \beta$일 때의 부도율은 다음과 같을 것이다. 잠재변수 $Z$가 임계값 $\alpha$보다 작을 때 부도가 발생한다고 했으므로,

 

$$P(Z<=\alpha | Y = \beta)$$

$$ = P(\sqrt{R}Y + \sqrt{1-R}\epsilon <= \Phi^{-1}(PD) | Y = \Phi^{-1}(0.001))$$

$$ = P(\sqrt{R}\Phi^{-1}(0.001) + \sqrt{1-R}\epsilon <= \Phi^{-1}(PD))$$

$$ = P(\epsilon <= \frac{\Phi^{-1}(PD) - \sqrt{R}\Phi^{-1}(0.001)}{\sqrt{1-R}})$$

$$ = P(\epsilon <= \frac{\Phi^{-1}(PD) + \sqrt{R}\Phi^{-1}(0.999)}{\sqrt{1-R}})$$

$$ = \Phi(\frac{\Phi^{-1}(PD) + \sqrt{R}\Phi^{-1}(0.999)}{\sqrt{1-R}})$$

 

이것으로 '위기 상황에서의 부도율'을 똑같이 유도했다. 99.9% 신뢰수준 하에서 최악인 시스템 위기가 찾아오면, 상관계수 R>0에 의해 부도확률이 통상적인 상황에서보다 높아진다. 따라서 $EL_{crisis}>EL_{normal}$이고, 그 차이에 LGD를 곱하고 만기조정을 취한 값이 미예상손실율이다.

 

정확히는 K값에 마지막에 12.5까지 곱해준 것이 미예상손실율이고, K값 자체는 '소요자기자본율'이다. K만큼을 자기자본으로 보유하게 되면, 소요자기자본/미예상손실 = 8%(초창기 BIS 요구비율)를 자연히 달성하게 하려고 이렇게 만들었다고 한다.

 

끝. 휴 길었다.