Delta Hedging과 ELS #2 증권사는 무엇을 만들까

 

모든 기업은 상품을 만들어서 판매한다. 증권사도 전통적인 의미의 제조업은 아니지만 어찌됐건 자기들이 취급하는 물건을 만들어서 판매한다. 

 

증권사가 고객에게 금융상품을 판매하면, 일정한 조건이 만족되었을 때 고객에게 cashflow를 지급해야 한다. 그러므로 증권사가 만들어내는 것은 "일정한 조건이 만족되었을 때 발생하는 cashflow들의 뭉텅이"이다. 이 뭉텅이를 만들어내는 대표적인 기술이 델타 헷지(Delta Hedge)이다.

 

1. Delta Hedge의 이론적 배경

행사가격이 100인 유로피안 옵션을 팔았다고 하자(short). 그러면 증권사는 지금부터 주가가 100 이상일 때 "주가-100"을 지급할 준비를 해야 한다. 동시에 주가가 100 미만일 때는 "0"을 지급할 준비를 해야 한다.

 

가장 좋은 방법은 유로피안 옵션을 사는 것이다(long). 그러면 long과 short에서 정확히 포지션이 상쇄되므로 아무런 리스크도 지지 않는다. 그러면서 증권사는 long position을 3에 사고, short position을 4에 팔아서 1만큼의 차익을 남기는 것이다.

 

하지만 어떤 경우에는 증권사가 long position을 사기 어려운 경우가 있다. 이럴 때 델타 헷지를 한다. 델타 헷지란, 주식을 적당히 사고 파는 것을 통해서 특정한 금융상품과 동일한 cashflow가 발생하도록 만드는 과정이다. 

 

어떻게 그것이 가능할까?

 

주가가 1단위 오를 때 옵션 가치의 변화분을 Delta라고 한다. BSM 모델을 사용한다면 유로피안 콜옵션의 델타는

$$\Delta = \frac{\partial C}{\partial S} = N(d1)$$

 

이 델타를 통해서 주가의 변화와 옵션 가치의 변화를 연계할 수 있다. 즉 

$$dC = \frac{\partial C}{\partial S} * dS = \Delta * dS = N(d1) * dS$$

 

그러므로 델타만큼 주식을 보유하고 있으면, 콜옵션의 가치가 증가한 만큼, 주식 포지션의 가치가 증가한다. 반대로 콜옵션의 가치가 하락하면, 또 그만큼 주식 포지션의 가치가 하락한다. 즉 콜옵션을 직접 거래하지 않고 주식 거래만으로도 콜옵션 포지션을 만들어낼 수 있는 것이다. 이게 델타 헷지이다.

 

증권사가 콜옵션을 매도한 후에는 콜옵션을 다른 사람에게 매수해서 리스크를 제거해야 하지만, 여의치 않을 경우 델타 헷지를 통해서 콜옵션을 매수한 것과 동일한 효과를 만든다. 이런 방법으로 콜옵션에서 발생할 cashflow의 뭉텅이들을 마련해놓고, 고객에게 약정한 수익을 지급하며, 델타 헷지를 하기 위한 비용 이상의 수수료를 받아서, 이득을 남긴다.

 

2. Delta Hedge 시뮬레이션

현재 주가가 100, 행사가격이 100, 무위험이자율 5%, 잔존만기 1년, 주가의 변동성 연 20%라고 하자. 이때 발행된 콜옵션의 BSM 가격은 10.4506이고, 델타는 0.6368이다.

 

델타 헷지를 하기 위해 0.6368개의 주식을 매수한다. 그러면 63.68원의 비용이 발생한다.

하루 뒤에 (잔존만기는 1/365년 감소) 주가가 100.4217로 높아졌다고 하자. 이때 델타는 0.6445이고, 기존 델타보다 0.0077보다 높아졌다. 증가한 델타를 맞추기 위하여 주식을 0.0077개 추가 매수한다. 그러면 0.7731의 비용이 발생한다.

 

이런 식으로 매 시점에서 델타포지션을 조정하면서 만기까지 지속한다. 그림으로 나타내면 아래와 같다. 왼쪽은 가격의 경로이고, 오른쪽은 그에 따른 델타의 경로이다.

 

 

가격이 높아지면 델타가 올라가고, 가격이 낮아지면 델타가 내려가는 모습을 보인다. 그래서 델타는 만기에 옵션이 행사될 확률을 의미하기도 한다. 만기에 다다름에 따라 주어진 시뮬레이션에서는 델타가 0으로 수렴한다. 왜냐하면 가격이 행사가격으로부터 충분히 멀어져서 행사될 일이 거의 없어지기 때문이다. 

 

또한 델타헷지의 누적비용의 현재가치를 구하면, 위 시뮬레이션에서는 그 값이 10.7593이다. BSM 모델의 이론가인 10.4506과 매우 유사하다. 왜냐하면 옵션과, 옵션의 델타헷지 포지션은 이론적으로 동일한 포지션이기 때문이다.

 

시뮬레이션을 50번 돌려보자. 왼쪽은 각 시뮬레이션에서의 가격 경로이고, 오른쪽은 각 시뮬레이션의 델타 경로를 만기 100일 전부터 그린 것이다. 델타 경로는 만기에 다다름에 따라 대부분 0 또는 1로 수렴하고 있다. 만기에 행사가 될 지 안 될 지가 분명해지는 것이다. 

 

 

 

전체 시뮬레이션에서의 헷지비용 현재가치의 분포는 다음과 같다. 그 평균은 10.4045로, BSM 이론 가격인 10.4046과 매우 유사하다.

 

 

델타 헷지 포지션은 콜옵션과 동일한 수익을 지급한다고 했다. 만기에 델타 헷지 포지션의 수익은, 만기에 보유하고 있는 기초자산의 델타 포지션을 매도해 얻은 현금흐름에서, 옵션의 행사로 인한 현금 유출을 차감한 것이다(즉, 행사가 된다면 주가만큼을 차감하고, 행사가 안 된다면 0을 차감한다). 

 

아래는 델타 헷지의 만기 수익을 만기 주가에 대해 표시한 것이다. 콜옵션의 숏포지션과 동일함을 알 수 있다. 

 

 

주가가 행사가격 근처에 있을 때는 헷징 오차가 크게 발생한다. 전날까지도 옵션의 행사 여부가 불확정적이어서, 애매한 델타 포지션을 가지고 있다가 이득이나 손실을 보게 되는 것이다. 헷징 오차가 크게 난 시뮬레이션의 경우 가격 경로와 델타 경로를 보니 아래와 같았다.