계량경제학 #11 비정상 시계열 회귀분석 (2): Stochastic Time Trend

• 비정상 시계열의 두번째 유형은 Stochastic Time Trend이다. 시간에 대하여 일정한 추세를 가지지 않는 Random Walk 모델이다.

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1. Random Walk Model

 

• Random Walk Model은 다음과 같이 정의한다.

$$Y_t=Y_{t-1}+U_t$$
where
$$U_t\sim IID(0,{\sigma }_{\ast }^2)$$
 

• AR(1) model에서 $\beta$가 1인 경우와 동일하기 때문에, unit root process라고도 부른다.

 

• Random walk model을 따르는 경우, 특별히 추정해야 할 모수가 없다. 그냥 랜덤워크 모델이다. 인과검정이나 예측이 불가능한 모델이다.
• 따라서 주요한 관심사는 주어진 process가 랜덤워크를 따르는 것이 맞는지 검정하는 것뿐이다. 이를 수행하는 일련의 검정들을 단위근 검정 Unit Root Test라고 한다.

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2. 단위근 검정 (Dickey - Fuller Test)

 

1. 단위근 검정

• DGP: $Y_{t} = Y_{t-1} + U_{t}$
• Model: $Y_{t} = \beta_{*} Y_{t-1} + U_{t}$

 

• 주어진 시계열이 단위근 시계열이라는 귀무가설 $\beta_{*} = 1$ 하에서
• OLS estimator $\hat{\beta}_{n}$를 사용한 t-statistics의 극한 분포

$$t_n=\frac{{\hat{\beta }}_n-1}{\sqrt{{\hat{\sigma }}_n^2({\mathrm{\Sigma }}_{t=1}^n{Y}_{t-1}^2{)}^{-1}}}\to \frac{\mathsf{B}(1{)}^2-1}{2\sqrt{{\int }_0^1\mathsf{B}(\theta {)}^{2}d\theta }}$$

• $\mathsf{B}(\theta)$는 Brownian motion을 의미한다.

 

• 대립가설 $\beta_{*} < 1$ 하에서 t-statistics는 마이너스 무한대로 발산한다.

 

2. ADF 검정 (Augmented Dicky-Fuller Test)

• 단위근 시계열에서 종종 잔차항 U_{t}가 IID하다는 가정을 사용하기 어려운 경우가 있다. 이런 경우에 사용할 수 있는 단위근 검정이 ADF 검정이다.

 

• DGP는 다음과 같다.

$$Y_t=Y_{t-1}+U_t$$

• where

$$U_t={\mathrm{\Sigma }}_{j=1}^p{\zeta }_{j\ast }\mathrm{\Delta }{Y}_{t-j}+{ϵ}_t$$

• and

$${ϵ}_t\sim IID.(0,{\sigma }_{\ast }^2)$$
 

• 추정하는 모델은 다음과 같다.

$$Y_t={\beta }_{}{Y}_{t-1}+{\mathrm{\Sigma }}_{j=1}^p{\zeta }_j\mathrm{\Delta }{Y}_{t-j}+{ϵ}_t$$
 

• 주어진 시계열이 단위근 시계열이라는 귀무가설 $\beta_{*} = 1$ 하에서
• OLS estimator $\hat{\beta}_{n}$를 사용한 t-statistics의 극한 분포

$$t_n=\frac{{\hat{\beta }}_n-1}{\sqrt{{\hat{\sigma }}_n^2({\mathrm{\Sigma }}_{t=1}^n{Y}_{t-1}^2{)}^{-1}}}\to \frac{\mathsf{B}(1{)}^2-1}{2\sqrt{{\int }_0^1\mathsf{B}(\theta {)}^{2}d\theta }}$$
 

• 대립가설 $\beta_{*} < 1$ 하에서 t-statistics는 마이너스 무한대로 발산한다.