계량경제학 #12 비정상 시계열 회귀분석 (3): 가성회귀, 공적분, 오차수정모형

1. 가성 회귀 분석 Spurious Regression

 

• 종속변수 Y와 독립변수 X가 모두 Unit Root process인 경우를 생각하자.
• 이 경우에 다음과 같은 회귀모형을 상상할 수 있다.

$$Y_t={\beta }_{\ast }{X}_t+U_t$$

 

• 그런데 $Y$와 $X$가 모두 Unit root process인 경우 $\beta_{*} = 0$이라는 귀무가설은 항상 기각된다.
• 즉 $X$가 실제로 $Y$에 통계적으로 유의한 영향력을 미치는지 여부와 무관하게, 항상 $X$가 유의한 독립변수로 나타난다.

 

• 이런 문제를 가성회귀 분석이라고 한다. 가짜 회귀분석이라는 뜻이다. 이런 회귀 모형을 세워서는 안 된다.

 

• 가성회귀 분석 문제에 대한 또다른 오해는 단지 $Y$와 $X$가 비정상 시계열일 때 가성회귀 문제가 발생한다는 오해이다.
• 예를 들어 아이스크림 판매량으로 익사자 수를 회귀분석하면 아이스크림 판매량의 베타값이 유의하게 나온다. 이것은 아이스크림 판매량과 익사자 수가 여름이라는 계절의 영향을 받기 때문에 발생하는 ‘어처구니 없는’ 회귀분석이다. 하지만 이런 걸 두고 가성회귀분석이라고 하지는 않는다.

 

• 가성회귀분석은 실제로 두 변수 간에 통계적 상관이 존재하지 않는데도, 통계적 상관이 존재한다고 나오는 경우를 말한다. 두 Unit root process 간의 회귀 모형이 그 예이다.
• 위에서 든 예시에서는 실제로 통계적 상관은 존재한다. 다만 아이스크림을 많이 먹어서 사람이 죽었다라는, 비합리적인 인과해석이 문제일 뿐이다.

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2. 공적분 Cointergration

 

• 단위근 시계열 간의 회귀에서 가성회귀 문제가 존재하지 않으려면, 두 단위근 시계열이 공적분 관계에 있어야 한다.

 

• 두 unit root process $Y_{t}$와 $X_{t}$에 대하여 임의의 선형결합이 존재해서, 

$$Y_t-\beta X_t={ϵ}_t$$

• $\epsilon_{t}$가 stationary process라면 $Y_{t}$와 $X_{t}$는 공적분 관계에 있다(Co-intergrated).

 

• 공적분 관계에서는 OLS 추정량에 대한 제대로 된 가설검정이 가능하다. 그런데 OLS 추정량의 확률분포를 확정할 수 없어 시뮬레이션 방법을 써야 한다(unit root process에 대한 대부분의 검정이 그러함).

 

• FMLS(Fully Modified Least Squared) 추정량은 그런 한계를 보완해준다.

$${\dot{\beta }}_n=[{\mathrm{\Sigma }}_{t=1}^n{\mathsf{X}}_t{\mathsf{X}}_t^T{]}^{-1}[{\mathrm{\Sigma }}_{t=1}^n{\mathsf{X}}_t{\dot{Y}}_t]$$

where

$${\dot{Y}}_t=Y_t-\mathrm{\Delta }{\mathsf{X}}_t^T[{\mathrm{\Sigma }}_{t=1}^n\mathrm{\Delta }{\mathsf{X}}_t\mathrm{\Delta }{\mathsf{X}}_t^T{]}^{-1}[{\mathrm{\Sigma }}_{t=1}^n\mathrm{\Delta }{\mathsf{X}}_t{\widehat{ϵ}}_t]$$ 

and

$${\widehat{ϵ}}_t=Y_t-{\mathsf{X}}_t^T{\hat{\beta }}_n$$

 

• FMLS를 사용한 Wald statistic는 귀무가설 하에서 점근적으로 카이제곱 분포를 따른다.

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3. 오차수정모형 Error-Correction Model

 

• OLS 또는 FMLS로 공적분 관계인 두 단위근 시계열에 대한 회귀모형을 추정한 후

$$Y_t={\mathsf{X}}_t^T{\hat{\beta }}_n+{\widehat{ϵ}}_t\cdots (1)$$

 

• $\Delta Y_{t}$를 $\{\Delta Y_{t-j}\}, \{\Delta X_{t-j}\}, {\epsilon}_{t}$로 회귀시키는 다음의 모형을 만들 수 있다.

$$\mathrm{\Delta }{Y}_t={\gamma }_{\ast }+{\rho }_{\ast }{ϵ}_t+{\mathrm{\Sigma }}_{j=1}^{p-1}{\varphi }_{j\ast }\mathrm{\Delta }{Y}_{t-j}+{\mathrm{\Sigma }}_{j=0}^{q-1}{\pi }_{j\ast }\mathrm{\Delta }{X}_{t-j}+{\nu }_t\cdots (2)$$

 

• 식 (1)을 Long-run equation, (2)를 Short-run equation이라고 한다.
• 두 공적분 시계열 간의 장기적인 관계와, 단기적인 변화의 관계를 함께 나타내는 모형이다.