파생상품 이론 #13 이색 옵션(Exotic Option)

이 시리즈는 파생상품 이론 분야에서 가장 유명한 교재인 Hull(2021)의 "Options, Futures and Other Derivatives (11th)"을 요약한 것일 뿐이다. 아래는 책 구매 링크

Options, Futures, and Other Derivatives

12편

https://seungbeomdo.tistory.com/50

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• 유로피안 옵션 외에도 다양한 옵션들이 있다. 아메리칸 옵션, 룩백 옵션, 디지털 옵션 등등. 이런 옵션들은 권리라는 점에서는 유로피안 옵션과 근본적으로 같지만, 수익 구조라든지 행사 시점이라든지에서 약간씩 차이가 있다. 이들을 이색 옵션(Exotic Option)이라고 총칭한다.

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1. 아메리칸 옵션(American Option)

1.1. 아메리칸 옵션

• 아메리칸 옵션이란, 만기 이전의 원하는 어떤 시점에서든 행사하는 것이 가능한 옵션을 말한다. 유로피안 옵션은 만기에만 행사 가능하다는 점에서 비교된다. 

 

• 아메리칸 옵션의 가치 평가는 기본적으로 이항 모형(Binomial Model)을 사용하면 가능하다. 그런데 영구적 아메리칸 옵션의 경우에는 해석적 해까지 유도해낼 수 있다. 영구적 아메리칸 옵션이란, 만기가 정해져있지 않은 옵션을 말한다.

 

1.2. 미분방정식

• 영구적 아메리칸 옵션(Perpetual American Option)의 경우를 다루기 이전에, 기본적으로 파생상품 가격이 만족시켜야 하는 미분방정식은 다음과 같다. q는 배당수익률을 의미한다.

 

$$\frac{\partial f}{\partial t} + (r-q)S \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial ^{2}f}{\partial S^{2}} = rf$$

 

• 주어진 파생상품은, 기초자산 가격 S가 H에 도달했을 때 고정된 금액 Q를 지급한다고 하자. 이때 미분방정식의 해는

 

$$f = Q(\frac{S}{H})^{\alpha}$$

 

1.3. 영구적 아메리칸 콜옵션

• 영구적 아메리칸 콜옵션의 경우, 최적의 행사가격 H에 도달할 때 옵션이 행사될 것이다. 그리고 이때 현금유입은 H-K이다. 위의 식에 대입하면,

 

$$f = (H-K)(\frac{S}{H})^{\alpha}$$

 

• 옵션 소유자는 옵션 가치를 극대화하되도록 하는 기초자산 가격을을 선택할 수 있다. 1계 조건으로부터 최적의 기초자산 가격 H는

 

$$H = K \frac{\alpha}{\alpha - 1}$$

 

• 따라서 영구적 콜옵션의 가격은 다음과 같다.

 

$$f = \frac{K}{\alpha - 1} (\frac{S(\alpha-1)}{K \alpha})^{\alpha}, \; if \; S < H$$

$$f = S - K, \; otherwise $$

 

1.4. 영구적 아메리칸 풋옵션

• 반면 영구적 아메리칸 풋옵션이라면

$$f = (K-H)(\frac{S}{H})^{\alpha}$$

$$H = K \frac{\alpha}{\alpha + 1}$$

 

• 따라서 영구적 풋옵션의 가격은 다음과 같다.

 

$$f = \frac{K}{\alpha + 1} (\frac{S(\alpha+1)}{K \alpha})^{-\alpha}, \; if \; S < H$$

$$f = K - S, \; otherwise $$

 

1.5. 버뮤다옵션(Bermudan Option)

• 버뮤다옵션은 아메리칸 옵션과 유로피안 옵션의 중간 정도 성격을 가진 옵션이다. 조기행사가 항상 가능한 것이 아니고 만기 이전 일정 기간 동안에만 가능하다. 
• 버뮤다 옵션은 수치적인 방법, 주로 이항 모형을 가지고 평가한다.

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2. 갭옵션과 클리켓옵션

2.1. 갭옵션(Gap Option)

• 갭옵션은 행사 시점에 대해서는 유로피안 옵션과 동일하지만, 투자 수익의 형태가 조금 다르다. 갭 옵션은 행사가격이 두 개 있다고 생각할 수 있는데, 갭 콜옵션의 경우 기초자산의 가격이 한 행사가격 $K_{2}$보다 클 때, 또 다른 행사가격 $K_{1}$와 기초자산 가격의 차이가 수익이 된다. 즉

 

$$S_{T} - K_{1}, \; if \; S_{T} > K_{2}$$

$$0, \; otherwise$$

 

• 갭 풋옵션은 기초자산의 가격이 $K_{2}$보다 작을 때, 투자 수익은 $K_{1} - S_{T}$가 된다. 즉

 

$$K_{1} - S_{T}, \; if \; S_{T} < K_{2}$$

$$0, \; otherwise$$

 

• 따라서 갭 콜옵션과 갭 풋옵션의 가치는 유로피안 옵션에 대한 BSM 모델을 약간 변형하면 된다. 갭 콜옵션과 갭 풋옵션의 가격은 각각

 

$$C_{gap} = S_{0}e^{-qT}N(d1) - K_{1}e^{-rT}N(d2)$$

$$P_{gap} = K_{1}e^{-rT}N(-d2) - S_{0}e^{-qT}N(-d1)$$

where

$$d1 = \frac{ln(S_{0}/K_{2})+(r-q+{\sigma}^{2}/2)T}{{\sigma} \sqrt{T}}$$

$$d2 = d1 - \sigma \sqrt{T}$$

 

2.2. 클리켓옵션(Cliquet Option)

• 클리켓옵션은 일정 기간마다 행사가격이 그 시점의 기초자산 가격으로 초기화되며, 수익이 정산되는 옵션이다. 

 

• 예컨대 클리켓 콜옵션을 보유하게 되면, 
  • 0시점~1시점까지의 옵션: 1시점에서의 기초자산 가격과 행사가격(0시점 기초자산 가격) 차이에 따라 수익 지급
  • 1시점~2시점까지의 옵션: 2시점에서의 기초자산 가격과 행사가격(1시점 기초자산 가격) 차이에 따라 수익 지급
  • ...
  • N-1시점~N시점까지의 옵션: N시점에서의 기초자산 가격과 행사가격(N-1시점 기초자산 가격) 차이에 따라 수익 지급

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3. 복합옵션과 선택옵션

3.1. 복합옵션(Compound Option)

• 복합옵션은 옵션에 대한 옵션을 의미한다. 즉 옵션에 대해서 매수하거나 매도할 수 있는 권리를 행사하는 옵션이다. 따라서 복합옵션은 콜옵션에 대한 콜옵션과 풋옵션, 풋옵션에 대한 콜옵션과 풋옵션 총 4가지 형태가 존재한다.

 

• 가령 콜옵션에 대한 콜옵션은 다음과 같다. 만기 $T_{1}$에서 행사가격 $K_{1}$을 주고 콜옵션을 매입할 수 있는 권리가 발생한다. 그리고 매입한 콜옵션은 만기 $T_{2}$에서 행사가격 $K_{2}$를 주고 기초자산을 매입할 수 있는 권리를 제공한다.

3.2. 선택옵션(Chooser Option)

• 선택옵션은 특정 기간이 지난 후 옵션 보유자가 보유한 옵션을 콜옵션으로 할 지 풋옵션으로 할 지 정할 수 있는 옵션이다. 선택시점을 $T_{1}$이라고 하면, 이 시점에서의 옵션의 가치는 다음과 같을 것이다.

 

$$f = max(C, P)$$

 

• 각각의 콜옵션과 풋옵션은 만기가 $T_{2}$이고 행사가격이 $K$이다.

 

• 풋-콜 패리티식을 사용해서 위 식을 조금 더 변형하면

 

$$f = max(C, \, C + Ke^{-r(T_{2}-T_{1})} - S_{1}e^{-q(T_{2}-T_{1})})$$

$$= C + e^{-q(T_{2}-T_{1})}max(0, \, Ke^{-(r-q)(T_{2}-T_{1})}-S_{1})$$

 

• 이는 결국 다음 두 옵션의 합성 포지션과 동일하다.
  • 행사가격 $K$이고 만기가 $T_{2}$인 콜옵션 1개
  • 행사가격 $Ke^{-(r-q)(T_{2}-T_{1})}$이고 만기가 $T_{1}$인 풋옵션 $e^{-q(T_{2}-T_{1})}$개

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4. 배리어옵션과 디지털옵션

4.1. 배리어옵션(Barrier Option)

• 배리어옵션이란 기초자산의 가격이 일정 기간 내에 일정 수준에 도달했는지 여부에 따라 효력 발생 여부가 결정되는 옵션이다. 
• 배리어옵션은 크게 두 종류인데 하나는 실격옵션(Knock-out option)으로, 배리어에 도달할 경우 효력이 사라지는 옵션이며, 다른 하나는 진입옵션(Knock-in option)으로, 배리어에 도달할 경우 효력이 발생하는 옵션이다.

 

• 실격옵션은 다시 두 종류로 나뉜다. 하나는 하향실격옵션(down-and-out)으로, 배리어가 현재 기초자산 가격보다 아래에 있는 실격옵션이다. 즉 하향 배리어에 도달하게 되면 옵션이 소멸한다. 다른 하나는 상향실격옵션으로, 배리어가 현재 기초자산 가격보다 위에 있는 실격옵션이다. 즉 상향 배리어에 도달하게 되면 옵션이 소멸한다.

 

• 진입옵션도 다시 두 종류로 나뉜다. 하나는 하향진입옵션(down-and-in)으로, 배리어가 현재 기초자산 가격보다 아래에 있는 진입옵션이다. 즉 하향 배리어에 도달하게 되면 옵션이 유효해진다. 다른 하나는 상향진입옵션으로, 배리어가 현재 기초자산 가격보다 위에 있는 진입옵션이다. 즉 상향 배리어에 도달하게 되면 옵션이 유효해진다.

 

4.2. 디지털옵션(Digital Option)

• 디지털옵션은 binary한 수익구조를 가지고 있다. 배리어옵션처럼 일정 배리어를 두고 수익 발생 여부를 결정하지만, 배리어 조건을 만족시켰을 때 어떤 연속적인 수익 증가가 발생하는 것이 아니라 고정된 현금지급이 발생한다.

 

• 디지털옵션은 Cash-or-Nothing과 Asset-or-Nothing으로 나뉜다. 전자의 경우 기초자산 가격이 행사가격을 만족시켰을때(즉, 콜이라면 행사가격보다 높은 경우이고 풋이라면 행사가격보다 낮은 경우) 고정된 현금흐름이 발생한다. 행사가격을 만족시키지 못할 경우에는 아무런 수익도 발생하지 않는다.

 

• 전자의 경우 기초자산 가격이 행사가격을 만족시켰을때 그 기초자산 가격만큼을 지급한다. 행사가격을 만족시키지 못할 경우에는 아무런 수익도 발생하지 않는다.

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5. 룩백옵션, 샤우트옵션, 아시안옵션

5.1. 룩백옵션(Lookback Option)

• 룩백옵션은 만기까지의 기초자산 가격 중 최소 혹은 최대값에 의해 수익이 결정된다. 크게 두 부류로 나뉘는데 하나는 변동 룩백옵션(floating)이고 다른 하나는 고정 룩백옵션(fixed)이다.

 

• 변동 룩백옵션의 경우 만기까지의 기초자산 가격 중 가장 유리한 가격이 만기의 행사가격이 된다. 즉 변동 룩백콜옵션이라면 기초자산 가격 중 최소값이 행사가격, 변동 룩백풋옵션이라면 기초자산 가격 중 최대값이 행사가격이 되는 구조이다.

 

• 고정 룩백옵션의 경우 행사가격은 고정돼있고, 만기의 기초자산을 만기까지의 기초자산 가격 중 유리한 가격으로 대체해서 사용한다. 즉 고정 룩백콜옵션이라면 기초자산 가격 중 최대값, 고정 룩백풋옵션이라면 기초자산 가격 중 최소값을 사용한다.

 

5.2. 샤우트옵션(Shout Option)

• 샤우트옵션은 옵션 보유자에게 유리한 조건을 한 가지 더 제공한다. 옵션 소유자는 만기 이전에 shout를 할 수 있는 권리를 갖는다.

 

• 이는 shout 시점에서 기초자산의 가격을 저장해두는 것이라고 이해하면 된다. 그리고 만기 시점의 기초자산 가격과, shout된 가격 중 유리한 가격에 따라 수익이 결정된다.

 

5.3. 아시안옵션(Asian Option)

• 아시안옵션은 옵션 만기동안의 기초자산의 평균가격이 행사가격이나 만기 기초자산가격을 대체하는 옵션을 말한다.

 

• 아시안옵션은 두 가지로 나뉘는데, 하나는 평균가격 아시안옵션이다. 이 옵션에서는 만기 동안의 기초자산 가격의 평균이 만기의 기초자산가격 역할을 대신한다.
• 다른 하나는 평균 행사가격 아시안옵션이다. 이 옵션에서는 만기 동안의 기초자산 가격의 평균이 행사가격을 대신한다.

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6. 교환옵션, 무지개옵션, 선도유효옵션

6.1. 교환옵션(Exchange Option)

• 교환옵션은 만기시점에 서로 다른 자산을 교환할 수 있는 권리가 부여되는 옵션이다. 따라서 교환대상인 자산의 가격이 현재 보유한 자산가격보다 높으면 이득이 발생한다.

 

6.2. 무지개옵션(Rainbow Option)

• 무지개옵션은 기초자산이 여러개인 옵션을 말한다. 복수의 기초자산 가격에 기초해 생성된 바스켓의 가치에 따라 이득이 결정된다.

 

6.3. 선도 유효 옵션(Forward Start Option)

• 선도 유효 옵션이란 미래 일정 시점부터 유효해지는 옵션을 말한다.

 

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7. 변동성 스왑(Volatility Swap)

7.1. 변동성 스왑과 분산 스왑

• 변동성 스왑은 만기동안 기초자산의 실현된 변동성(realized volatility)을 미리 정해놓은 변동성과 교환하기로 하는 계약이다. 

 

• 기초자산의 실현된 변동성은 일별 평균 수익률이 0이라는 가정 하에 로그수익률 제곱의 평균으로 계산한다. 즉

$$\bar{\sigma} = \sqrt{\frac{252}{n-2}\Sigma_{i=1}^{n-1}[ln(\frac{S_{i+1}}{S_{i}})]^{2}}$$

 

• 샘플 표준편차를 추정하는 것이기 때문에 n-1개 샘플의 자유도인 n-2로 나눈 것이고, 연율화하기 위해 252를 곱한 것이다.

 

• 명목원금 L과 고정 변동성 $\sigma_{K}$에 대하여 변동성 스왑의 롱포지션(고정 변동성 지급 포지션) payoff는

$$L(\bar{\sigma} - \sigma_{K})$$

 

• 분산 스왑(Variance Swap)은 변동성의 제곱에 대해서 동일한 교환을 하는 계약이다. 롱포지션의 payoff는

$$L(\bar{V} - V_{K})$$

 

7.2. 변동성 스왑의 가치평가

• 분산 스왑의 가치평가 방법을 먼저 보자. 분산 스왑의 가치 평가는 다른 파생상품들과 마찬가지로 위험중립적 가치평가를 사용한다. 즉, 분산 스왑의 가치는

$$L(\hat{E}[\bar{V}] - V_{K})e^{-rT}$$

 

• hat은 위험중립적 평가라는 것을 나타내는 표시이다.

 

• 이때 만기까지의 평균 분산의 기대값은 다음과 같다. P(K)와 C(K)는 주어진 행사가격에서의 풋과 콜의 가격을 말한다. 자세한 유도과정은 금융수학 글에서 다루어보도록 하겠다.

 

$$\hat{E}[\bar{V}] = \frac{2}{T}ln\frac{F_{0}}{S^{*}}-\frac{2}{T}[\frac{F_{0}}{S^{*}}-1] + \frac{2}{T}[\int_{K=0}^{S^{*}}\frac{1}{K}e^{rT}P(K)dK + \int_{K=S^{*}}^{S^{infty}}\frac{1}{K}e^{rT}C(K)dK]$$

 

• 변동성 스왑도 위험중립적 평가를 사용하기 위해서, 만기 동안의 실현 변동성의 평균에 대한 기대값을 구해야 한다. 이는 다음과 같다.

$$\hat{E}[\bar{\sigma}]=\sqrt{\hat{E}[\bar{V}]}[1-\frac{1}{8}\frac{Var[\hat{V}]}{\hat{E}[\bar{V}]^{2}}]$$

 

• 잘 알려진 변동성 지수인 VIX 지수는 S&P500 지수로부터 $\hat{E}[\bar{V}]T$를 계산한 것이다. 이때 30일 만기로 고정시킨 값을 쓰기 위해서 만기가 30일보다 조금 덜 옵션과 30일보다 조금 더 남은 옵션으로부터 계산한 후 보간법으로 추정한다. 그리고 이 값을 연율화한 후에 제곱근을 씌우면 VIX지수가 된다.