패널 회귀 분석 #5 동태적 패널효과 모형과 내생성

동태적 모형 (Dynamic Model)

동태적 모형의 정의

• 종속변수를 설명하기 위하여, 이전 기의 종속변수들이 독립변수로 사용되는 모형을 동태적 모형이라고 한다.

 

• 일반적인 동태적 패널 회귀 모형은 다음과 같다. 

$$Y_{it}=\alpha +{\mathsf{X}}_{it}\beta +\rho Y_{i,t-1}+{\mu }_i+{ϵ}_{it}$$

 

• 항상 $\epsilon_{it}$는 시계열적으로 비상관이며, 모형의 어떤 독립변수 및 개별효과와도 비상관이다. 이는 모형이 제대로 specificate되었느냐의 문제이다. 

 

모형의 안정성

• 동태적 모형에서는 모형의 안정성(Stability)이라는 개념도 고려해야 한다.

 

$\mathsf{X}_{it}$가 $\Delta X$만큼 증가했다고 하면, 

$Y_{it}$는 $\Delta X \beta$만큼 증가

$Y_{i,t+1}$은 $\Delta X \beta$만큼 증가한 $Y_{it}$가 독립변수로 포함되므로, $\rho \Delta X \beta$만큼 증가

... $Y_{i,t+k}$는 $\rho ^{k} \Delta X \beta$만큼 증가

 

• 따라서 임의의 시점에서 독립변수의 변화, 개별효과의 변화, 오차항의 변화 등은 그 이후의 모든 시점들에 영향을 미친다.

 

• 모형이 안정적이라는 것은, 임의의 시점에서 발생한 변화가 모형에 미치는 영향력이 궁극적으로는 소멸한다는 것을 의미한다.

$$|\rho |<1$$

• 그러므로, 모형이 안정적이기 위한 조건은, AR(1) 모형의 경우,

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\rho }^k\mathrm{\Delta }X\beta \to 0$$

 

동태적 모형의 내생성

내생성 문제

• 동태적 패널 회귀식은 다음과 같다.

$$Y_{it}=\alpha +{\mathsf{X}}_{it}\beta +\rho Y_{i,t-1}+{\mu }_i+{ϵ}_{it}$$

• 동태적 패널 회귀 모형에서 $X$가 개별효과와 외생적이더라도, 항상 과거 종속변수 $Y_{i,t-1}$가 개별효과와 내생적이다.
• 왜냐하면 개별효과는 시간에 대해 불변하므로, 개별효과가 증가하면, 모든 시점 t, t-1, t-2, …의 Y가 증가하기 때문이다.

 

• 따라서 동태적 모형에서는 POLS나 임의효과 모형을 사용하지 않는다(개별효과에 대하여 독립변수가 외생적일 때에만 consistent한 성질이 있으므로).

 

고정효과 모형

• 그렇다면 고정효과 모형은 어떨까. 다음과 같은 평균 차분 모형에 POLS를 적용하는 것이 고정효과 모형이다.

$$(Y_{i,t}-{\overline{Y}}_{i,t})=({\mathsf{X}}_{i,t}-{\overline{\mathsf{X}}}_i{)}^T\beta +\rho (Y_{i,t-1}-{\overline{Y}}_{i,t-1})+({ϵ}_{i,t}-{\overline{ϵ}}_i)$$

• 그런데 이 경우에는 $\bar{Y}_{i,t-1}$과 $\bar{\epsilon}_{i}$이 상관된다.

$${\overline{ϵ}}_i=\frac{1}{T}({ϵ}_{i,1}+{ϵ}_{i,2}+{ϵ}_{i,3}+\cdots +{ϵ}_{i,T})$$

$${\overline{Y}}_{i,t-1}=\frac{1}{T}(Y_{i,0}+Y_{i,1}+Y_{i,2}+\cdots +Y_{i,T-1})$$

• 그러므로 고정효과 모형도 inconsistent하다.