시계열 분석 #1 시계열의 정상성과 유형

1. 시계열의 개념

1.1. 시계열의 정의

•  시간 t에 대해서 나타낸 확률변수의 수열 $X_{t}$를 시계열이라고 한다.

$$\{X_{t}\} = {X_{1}, X_{2}, \cdots}$$ 

1.2. 시계열의 특징

• 하나의 대상을 지속적으로 관찰해 구성한 것이 시계열이기 때문에, 시계열을 구성하는 확률변수들은 서로에 대하여 독립적이지 못한 경우가 대부분이다. 
• 예컨대 주가를 일별로 관측해 얻은 주가들은 서로에 대하여 상관을 갖는다. 이를 자기상관이라고 한다. 
  • 직전 주가를 가지고 다음날 주가가 예측 가능하다? 라는 것에 의문을 가질 수 있지만 통계학적으로 보았을 때 일별 주가가 독립이 아니라는 주장은 사실이다. 어느날 삼성전자의 주가가 6만원이라고 할 때 그 다음날 삼성전자의 주가가 6만 500원이나 5만 9500원이 될 확률은 삼성전자 주가가 5만원이나 7만원이 될 확률보다는 높다. 
  • 즉 직전일의 주가 정보가 그 다음날의 주가의 확률에 영향을 미친다. 다시 말해 조건부 확률이 무조건적 확률과 다르므로 일별 주가는 독립성을 만족하지 않는다.

1.3. 시계열의 정상성

• 시계열은 일반적으로 독립성을 만족하지 못한다. 그런데 횡단면 분석에서 독립성 가정을 사용해 가설 검정 등에 활용하듯이 시계열 분석에서도 널리 쓰이는 유용한 가정이 있다. 이 가정이 정상성 가정이다.
• 시계열의 정상성(Stationarity)이란 시계열을 구성하는 확률변수의 분포적 특성이 시간에 따라 변화하지 않는 성질을 말한다(독립성과는 무관하다). 정상성 가정은 두 가지로 구분해서 사용한다.
• 강정상성(Strictly Stationarity): 시계열을 구성하는 확률변수들이 시간 t에 대하여 동일한 분포를 따른다.

$$X_{t} \sim ?(\cdot) $$

for t = 1, 2, ...

• 약정상성(Weakly Stationarity): 시계열을 구성하는 확률변수들이 다음을 만족한다. 즉 (1) 확률변수의 평균과 분산이 시간 t에 대하여 상수이고 (2) 공분산은 time lag에 대해서는 함수이지만 시간 t에 대해서는 상수이다.

$$E[X_{t}] = {\mu}$$

$$Var[X_{t}] = {\sigma}^{2}$$

and

$$Cov[X_{t}, X_{t-j}] = {\sigma}^{2}_{j}$$

• 일반적으로 시계열이 항상 동일한 확률분포를 따른다는 것은 과도한 가정이고 검증하기도 쉽지 않다. 따라서 자주 사용되는 가정은 약정상성 가정이다. 또한 약정상성을 따르는 시계열이 정규분포를 따른다면 강정상성까지 만족하게 된다. 정규분포는 평균과 분산의 두 가지 파라미터로 고유하게 정의된다는 것을 환기하면 이해하기 어렵지 않다.

---

2. 시계열의 유형

2.1. 우연변동 시계열

• 우연변동 시계열이란 주기성과 추세성을 갖지 않는 시계열을 말한다. 이 경우 시계열은 정상성을 만족한다.

• 주가의 일별 수익률 시계열 등이 우연변동 시계열에 해당한다.
• 우연변동 시계열의 평균이 0이면 백색잡음(white noise)이라고 부른다. 백색잡음은 다음을 만족하는 시계열(혹은 확률과정)이다.

$$E(X_{t}) = 0$$

$$Var(X_{t}) = \sigma^2$$

and

$$Cov(X_{t}, X_{t-j}) = 0$$

• 백색잡음의 정의를 보면 IID process와 혼동하기가 쉽다. 하지만 평균과 분산이 상수라고 해서 항상 동일한 분포(Identical distributed)를 갖는 것은 아니며, 공분산이 0이라고해서 독립(Independent)인 것도 아니다. 
  • 만약 어떤 프로세스가 백색잡음이면서 정규분포를 따른다면 IID 프로세스가 된다. 

2.2. 계절변동 시계열

• 계절변동 시계열이란 추세는 가지지 않고 주기성만을 가지는 시계열이다. 이 경우는 정상성을 만족하지 않는다. 아래 그래프를 보면 시간에 대하여 평균과 분산이 변화하리라는 것을 짐작할 수 있다.

• 월별 여행객의 수 등이 계절변동 시계열에 해당한다.

2.3. 추세변동 시계열

• 추세변동 시계열이란 주기성은 가지지 않고 추세만을 가지는 시계열이다. 이 시계열은 정상성을 만족하지 못한다. 시간에 대하여 평균과 분산이 증가하리라는 것을 직관적으로 이해할 수 있다.

• 주가(level) 시계열 등이 추세변동 시계열에 해당한다.

2.4. 계절적 추세변동 시계열

• 계절적 추세변동 시계열이란 추세와 주기를 모두 가지는 시계열을 말한다. 당연히 정상성을 만족하지 못한다.