계량경제학 #3 이분산 가정 하에서 OLS: HC 추정량과 FGLS
1. Heteroskedasticity 동분산성(Homoskedasticity)은 오차의 조건부 분산이 상수라는 것을 의미한다. $$E(U_{t}^{2}|\mathsf{X}_{t}) = \sigma_{*}^{2}$$ 독립변수 벡터의 조건부 평균은 독립변수 벡터의 함수이다. 따라
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- 이분산 가정 하에서 OLS 추정량은 Consistency를 만족하지만, 더이상 효율적인 추정량은 아니다. 즉 OLS 추정량보다 분산이 작은 추정량이 존재한다.
- 사실 OLS 추정량을 사용하더라도, 우리가 원하는 베타값에 대한 일치추정량을 구할 수 있다. 샘플 크기가 충분히 크다면 우리가 가지고 있는 추정량이 이미 베타값과 거의 같다고 해도 무방하다. 그런데도 굳이 효율적인 추정량까지 사용해야 하는 이유는 무엇일까?
첫째, 추정량의 분산이 작다는 것은 추정량의 값을 더 신뢰할 수 있다는 사실을 의미한다.
- 추정량은 어떤 주어진 값이 아니고, 표본으로부터 계산된 임시적인 값이다. 즉 표본이 바뀌면 추정량도 변화한다. 추정량은 그 자체로 확률변수이다.
- 어떤 추정량의 분산이 크다면 주어진 추정량이 다른 표본에서 계산되었다면 크게 다른 값을 가질 수도 있다는 것을 의미한다. 따라서 추정량을 신뢰하기 어렵다.
- 물론 표본의 크기가 아주아주 크다면, consistency에 의해서 충분히 모수로 수렴하였기 때문에 이 문제가 중요하지 않을 수도 있다. 그러나 샘플 사이즈가 그렇게 크지 않다면 분산의 문제는 점점 중요해진다.
둘째, 추정량의 분산이 작아진다는 것은 귀무가설을 기각하기 더 쉬워진다는 것을 의미한다.
- 추정량의 분산이 작아지면 귀무분포의 분산도 작아진다.
- 주어진 검정통계량이 귀무가설을 기각하기에 충분한지 알아볼 때, 추정량이 절대적으로 극단적인 값인지 여부는 중요하지 않을 수 있다.
- 충분히 큰 추정량이 도출됐더라도 귀무분포의 분산이 크다면 귀무가설을 기각할 만한 p-value를 얻을 수 없다.
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